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珠算与数学教育
2017/6/9 13:01:51 http://www.shzxs.org 来源：上海市珠算心算协会 阅读：2160人次
珠算与数学教育
刘芹英
中国古代数学教学源远流长，从公元11世纪西周官学将“礼、乐、射、御、书、数”作为主要教育内容以来，古代数学经历了商周及春秋战国的初创时期，秦汉的形成时期，隋唐元的鼎盛时期和明清的徘徊时期。在这长达3000多年的发展历史中，中国古代数学教学形成自己的特点。尽管中国古代的数学教学有数千年的历史，而且有文字记载的小学数学也有3000多年的发展历史，但史料中有关古代数学教学的具体记载却并不多见。
中国的数学教育在夏商之际已具雏形，西周已初具规模，春秋战国时期已经定型，数学成为学校必修课之一。我国的数学教育最早见于殷墟甲骨文中传授十进位值制的数学教育痕迹。利用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等13个数字，就可以计算成千上万的数。殷周之际，我国劳动人民创造了包括珠算、筹算在内的多种算具算法，与十进位值制记数法的结合，形成了我国独具特色的算法化数学教育体系。由于我国发明的十进位值制计数法等，简捷无比，在此基础上创造了简易快捷的算具算法，因而我国古代数学教育相当发达，所以国民的数学素质尤其是计算能力（包括心算）历来较强。古代数学教育的核心指导思想是“经世致用”，也就是突出数学的实用性，加上先进的算具算法，使得我国古代数学在许多方面长期领先世界。
一、历史上的珠算与数学教育
算筹记数和四则运算可能是西周时开始的【1】。与同时期并存的算具相比较而言，算筹记数法还便于刻版印刷、复制，在我国古代数学典籍中筹算成为标志性的形式。筹算可能在西周时期已经基本定型。因为算筹容易制作、可随处操作计算，不仅形象，而且容易掌握；即便用珠算、心算等，也可以用算筹图作记录，所以，算筹在历史上的应用显得十分广泛，延续近2000年。即便是到宋元时期及宋元以后，珠算被广泛应用起来，仍然用算筹符号记录，刻板印书，形成用珠算实施计算，用算筹记录的形式。我国古代的十进位值制记数法和算筹、算盘等算具相结合，形成了我国古代以计算为核心的传统数学教育体系和特色。
用珠算实施计算、用算筹记录的形式，也影响到数学史界对珠算起源尚无一致的看法，数学史专家即便从算法原理上分析判断用的是珠算，但看古籍的算草记录仍然是筹码，故有人说是用珠算，也有人说是用筹算。虽然在汉代徐岳著《数术记遗》一书中已经有珠算的记载，（也是目前所存史料中对珠算的最早记载），但在古籍中找不到算盘图，于是仍然不承认那时有珠算。虽然珠算与筹算在历史上是长期并存的，但在古代的数学著作中，至少在元明之前，见不到算盘图，都是以算筹作为记录，于是就认为当时的计算工具和计算方法是筹算。数学史界一致认为明代是珠算的鼎盛时期，因为明代的数学著作中，有了算盘图，才承认当时是用算盘作为计算工具进行计算的。由此，我们推断，明代以前的数学教育，无论是官学还是私学中的算学应该是筹算、珠算兼用，用筹码记录；而明代及以后的数学教育中应该是运用珠算。
这里，我们只讨论明代和清代的珠算与数学教育。
（一）明代的珠算与数学教育
中国明代以前的数学教育，其计算工具是算筹、算盘兼用，但筹算除在印刷刻板方面比算盘图容易制作外，在使用中无论速度和操作的简便上都不如珠算，故明代筹算完全被珠算所替代，计算工具是以算盘为主，记录用筹码。珠算的算法比筹算更简捷，更容易掌握，对数学教育的普及和实用起到的推动作用自然更大。
明代官学中的数学教育远不如唐代和宋代，主要表现在中央官学不设算学，地方官学取消试算等。明代的私学教育，承宋、元之制而不衰，涉及数学教育的除启蒙小学教育中的书写启蒙外，尚有私学传授较高深的数学知识。吴敬的《九章详注比类算法大全》是适应明代经济发展状况的数学应用全书，程大位的《直指算法统宗》是符合日常商贸计算数学实用需求的以珠算为基础构建的经典的数学教科书，也是在教学经验基础上总结而写的，包含着既通俗又容易教学的方法。明代的数学教育在向为商业服务的实用计算领域和科学研究的实用数学（如朱载堉的科学成就）方向倾斜，珠算起着决定性的作用，反过来又促进了数学教育大为普及。
明代是笔算第二次传入中国（笔算的第一次传入是在唐代），数学教育中也是想用笔算教学数学，但未能普及；因为在实际应用中，笔算速度太慢，不能满足实际需要，必须用珠算。比如商店、钱庄、企业等结算时都是采用珠算，而没有用笔算进行结算的。由于珠算的算法比筹算更简捷，更容易掌握，对数学教育的普及起到很好的推动作用。而且，珠算使明代的数学普及教育变得容易了。
（二）清代的珠算与数学教育
清代对数学教育比较重视，无论是官学还是私学的数学教育都有新的发展。清代的官学体制一如明代，分为国子监（中央官学）、府州县学和社算（又称义学）三级三类学校。清代的书院基本成为官学，其中数学教育包括经学数学教育和专门的算学历算数学教育。清代（尤其是其前期）是我国历史上私学数学教育大发展的时期。
西方数学是在明末清初传入中国的，对我国的数学教育产生了一定的影响，但处于介绍阶段，数学教育主要还是以珠算为基础的。
中国数学教学，引入西洋数学课程内容与教法（也叫新学堂），始于1867年在京师同文馆设天文算学馆，1868年聘中国当时著名数学家李善兰为算学总教习。从此以后，地方和民间的初等教育中也逐渐引用西洋数学课程内容与方法。如1878年由张焕纶在上海创办的蒙正书院，1896年上海的三等公学，1898年无锡的三等学堂，1899年天津的蒙养东塾、北京的五城小学堂、广东逊业小学堂。教材除采用中国传统数学的《算经十书》、《数理精蕴》外，主要是邹立文与狄考文合译的《笔算数学》。算学课程的内容大体上是：“第一学年加减乘除，笔算、心算；第二年学开方；第三年学立方；第四年学平面量地法；第五年学代数；第六年学形学。”【2】
《笔算数学》分三卷，24章，内容为：开端，加法、减法、乘法、除法；数目总论、命分、小数、比例、百分数、利息；保险、赔赚、粮饷、税饷、乘方、开方、级数、差分、均中比例、推解、量法、总杂问等共2876个问题。采用白话文编写、讲解。显然，这是中国传统数学与西洋数学混合杂陈，不是相互融合或溶合成一体，也没有全部照搬西洋数学。
清政府从1901年起，开始实行一些所谓的“新政”，“改革教育”就是其中的一项重要内容。1902年，清政府公布了由管学大臣张百熙拟定的一系列“学堂章程”（即壬寅（1902年）学制），但是这个学制未及实行。清政府又在1903年命张百熙、荣庆、张之洞重加拟定，于1904年公布，即《奏定学堂章程》【即“癸卯（1903年）学制”】。与此同时，对科举制度也做了改革，直至废除。“癸卯学制”是我国近代第一个以法令形式公布并在全国推行的学校教学系统，数学教育全盘西化。该学制是仿日本学制确定的，当然，日本是先走一步实施的教育全盘西化。至于教材，采用直接翻译日本教材或者自编教材，自编教材也是仿照日本教材的编写风格和结构进行编写的。
清末的小学数学课程，因全盘西化而以笔算为主。但实用中离不开珠算，所以学校不得不在数学课程之外，另设一门珠算课程教学珠算。珠算课程的教学目标是为实务，因为在实用领域还是要用珠算来解决问题，特别是商业、金融等经济领域，更是离不开珠算。
二、 珠算与20世纪上半叶的数学教育
直白说来，癸卯学制是搬日本学制、课程，将小学阶段分为初等小学堂和高等小学堂。“癸卯学制”小学数学课程内容和教学要求【3】是：
初等小学堂
第一年：算术（每周6学时）：数目之名；实物记数；二十以下之算术；书法；记数法；加减。
第二年：算术（每周6学时）：百以下之算术；书法；记数法；加减乘除。
第三年：算术（每周6学时）：常用之加减乘除。
第四年：算术（每周6学时）：通用之加减乘除；小数之书法、记数；珠算之加法。
第五年：算术（每周6学时）：通用之加减乘除；简易小数；珠算之加减乘除。
教学要求是：“其要义在使知日用之计算，与以自谋生计必需之知识，兼使精细其心思。当先就十以内之示以加减乘除之方，使之纯熟无误，然后渐加其数至万而止，兼及小数；并宜授以珠算，以便将来寻常实业之用。”
高等小学堂
第一年 算术：加减乘除、度量衡、货币及时刻之计算；简易之小数。
第二年 算术：分数；比例；百分数；珠算之加减乘除。
第三年 算术：小数；分数；简易之比例；珠算之加减乘除。
第四年 算术：比例；百分数；求积；日用簿记；珠算之加减乘除。
教学要求是：“其要义在使习四民皆所必须之算法，为将来自谋生计之基本。教授之时，应稍加复杂算术。兼使习熟运算之法。”
可以看到，初等小学堂中，在第四、第五学年安排有珠算的学习；在高等小学堂的第二、三、四学年中均要学习珠算加减乘除。编排比较系统，已改中西数学杂陈混合为全盘西化数学，只是另补一块珠算。之所以必授珠算，乃为“将来寻常实业之用”。
民国初年，1912—1913年教育部颁行新学制，后来称为“壬子癸丑学制”，比“癸卯学制”缩短了3年（初等小学缩短一年、高等小学缩短两年），但小学数学课程基本内容没有变化。其教学目的和要求是：“算术要旨，在使儿童熟习日常之计算，增长生活必需之知识，兼使思虑精确。初等小学校首宜授十数以内之数法、书法及加减乘除，渐及百以内，更进至通常之加减乘除，并授以小数之读法、书法及其简易之加减乘除，并授本国度量衡币制之要略。高等小学校首宜就前项扩充之，渐近授以整数、小数、诸等数（复名数）、分数、百分数、比例，并得酌授日用簿记之要略。算术宜用笔算及珠算。”【4】要求中提出“授本国度量衡币制之要略”、“算术宜用笔算及珠算”等，比之“癸卯学制”接近中国国情一些。这里“算术宜用笔算及珠算”，表明珠算不单是“将来寻常实业之用”，也可用于作算术题。
“壬戌学制”是由学习日本转向学习美国的结果。小学学制为6年（初小4年，高小2年），算术科的内容框架没变，只是删去了复杂繁难的题目，突出整数、小数、分数、诸等数（复名数）的四则运算和实际应用，在教学要求上具有一定的弹性。在1923年的《小学算术课程纲要》（第一学年到第六学年）中未列珠算，但在小学教学时还是有珠算，只是另外教学珠算，或者与算术交叉教学珠算，情况不一。
1929年教育部公布的《小学算术课程标准暂行标准》有一定的融合东西文化的意味，并明确就知识、技能、思维三个方面提出要求。该标准实施的三年间，虽然显示出许多长处，但各地在实际教学中，仍提出了不少问题。教育部根据各地意见，经过修改而成的《小学算术课程标准》于1932年颁布，1936年又经过修订，形成《修正小学算术课程标准》，主要是“小学暂免会考”，为了减轻学生负担，删繁就简，减少教学时数，内容前后有些移动，强调“以计算为中心”，要求珠算与笔算联络、结合。
从教学内容和教学体系上看，1937—1949年间的小学算术教学基本上没有变化，都是“以计算为中心”，都有心算、笔算、珠算。1942年《小学算术课程修订标准》提出的“教法要点仍强调以计算为中心，心算是算术的基础。笔算和珠算结合教学，以互相促进。珠算从第七册开始教学，到第九册，占课时的40%，而心算相对较少，第十册中也只占26%。对心算、珠算的内容是否足够，要求各地酌情而定。”【5】其后，并未有大的变化。
上述情况说明，从20世纪以来，我国的教育是搬用西洋学制，搬用西洋数学课程知识结构体系和其规定的内容，到30—40年代已经定型并稳定下来。即我国的数学教育已经全盘西化，是以笔算为主，但为实用之需要，仍然不得不教学珠算。主要是采用在小学数学课程之外，再另外开一门珠算课程；而且，当时的大中专财经院校均开设有珠算课程。
三、 论珠算与数学教育
数学处理的活力在计算，数学教育首先是要解决计算问题，而且计算在小学数学中占的比重也较大。在小学一至三年级中，数学课堂教学时间的60%—80%是用来学习加减乘除计算的。由此可以看出，计算问题解决的好不好，决定着数学教育范式的优与劣。
在历史上，中国数学教育与珠算一直密不可分联成一体。甚至在一定的时期，数学教育首先就是珠算教育；在某些时期，教育改革的决策者很想把珠算排除在数学教育之外，但都没有实现。即使在数学课程中不列入珠算，也不得不在数学课程之外另开设一门珠算课程。究其原因，主要是珠算在计算方面的无比优越性。概括起来，可从以下两方面说起：
一是硬件方面。珠算的硬件是算盘，它有优良的机制，如中国算盘采用采用
二是软件方面。古代珠算的软件是“口诀”，由于硬件机制优良，就使得口诀的作用更大——只需按口诀拨珠就可以自动得出计算结果。大家都知道口诀的特点是押韵顺口，便于诵读和记忆，用口诀指导拨珠计算很方便；现在的软件是“符号化”。运用珠码符号，只需要拼排它就可以完成拨珠计算，使计算更直观、更容易了。我们还知道，只要是符号就需要内化，珠码符号内化就形成了珠心算，从而自然把珠算与心算融为一体了。珠心算的计算速度更快，而且珠心算教学实践、认知行为学和脑机制研究成果均证明：珠心算对开发儿童智力潜能具有显著作用。
数学教育中选择珠算、珠心算来解决计算问题，不仅可以使计算变得快捷、容易，还教学了丰富的数学思想方法，使诸多问题的解决都简化了（如：元、角、分的认识和换算、钟表的认识和时分秒的换算等单位换算），从而使数学教育变得简单容易。
四、珠算与现代数学教育
1950年7月，教育部制订了《小学算术课程暂行标准（草案）》，其内容体系与过去的基本相同；与过去算术课程主要区别是：批评了杜威的实用主义教育思想，否定了“随机教学、设计教学法”，不再实行“第一学年不正式学算（随机在课内外，家庭学校场合帮助孩子解决有关数量问题）”的做法，从一入学就开始学算，原来6年的内容，安排在5年学完；珠算于三、四年级单独设课，每周均为2学时。但是，这个“暂行标准”并没有完全付诸施行，因为难于立刻编出与之相应的教材，只能先采用过渡教材。正当积极准备修订过渡教材，筹划编出与之相适应的教材时，又决定采用苏联教材编译本。
珠算教学也不例外，也在积极进行改革，改进珠算教学法，实行“四破”：破旧口诀（用口诀教学少慢差费，主张不用口诀）、破旧算具（主张把大算盘改为小算盘，算珠由上二下五，改为上一下四）、破旧教材（废除难学易错的留头乘和归除，改为易学易懂的隔位乘和商除法）、破旧教法（反对注入式和多讲少练的旧教法，主张把珠算与口算、笔算结合起来进行教学）。
江西宜春市第三小学于1955年下半年开始“口算、笔算、珠算三结合”教学试验， 历时三年，于1958年下半年总结出“三算结合”概念，并在《江西教育》1959年第9期上发表文章，为“三算结合”教学唱出了第一声。由于此做法体现了人们想在数学教学中采用珠算的宿愿，立刻引起各地数学教育工作者的共鸣……从1969年开始，上海、天津、浙江等省市，先后开展了“三算结合”教改实验。上海崇明县于1969年在新河“五七3校”进行“三算结合”教改实验，从一年级起把珠算与口算、笔算结合起来进行教学，他们对三算的关系指出：“口算是基础，笔算是重点，充分发挥珠算的工具作用”；1969年天津市上海道小学采用笔珠结合，珠算加减法保留传统口诀，他们指出：“以笔为主，以珠为辅，以笔带珠，以珠促笔”；1972年 杭州市在光明小学进行“三算结合”教学实验，他们提出：“以珠算为基础，改造笔算，促进口算，把三算有机地结合起来。” 。从1973年到1977年的五年内，全国除西藏、台湾外，各地都开展了不同规模的“三算结合”教学实验，当时接受实验的师生达二、三千万人。实验教材有四十几种之多，规模之大，范围之广，实为中外教育史上所罕见。充分显示了用珠算教学数学是中国人的祈盼。
中国珠算协会于
中国珠算协会还相继成立了算理算法研究会、珠算史研究会、比赛鉴定委员会、珠算教学研究会等二级会，这标志着珠算界的同仁们不仅有了自己的组织，还有了按专业分类的研究组织。算理算法研究会组织全国有关专家进行了比较深入的珠算理论研究，召开了许多研讨会，并于1990年出版了专著《珠算学概论》，1999年出版了专著《古今珠算法的评价和优选》，此外该研究会的有关专家或联合或独著了如《珠算代数简捷术》、《珠数学》、《数学教学优因工程》等专著，还主编出版了论文集，高校和中专的珠算教材，少儿珠心算教材等等，发表了不少文章。从而使珠算进入数学课程，用珠算教学数学的理论和数学教学配套珠算方法都达到了相当完善的程度，中国对珠算用于数学教育的理论认识和研究成果走到了世界的前列。珠算史研究会、比赛鉴定委员会、珠算教学研究会、珠算普及推广委员会等，在珠算学术、活动、教育、推广，培养优秀选手等等方面也都作出了贡献。这些对于将珠算用于数学教育的实施都有推动作用。由于中国珠算协会的宣传、组织和鼓励，激发了全国各地的珠算专家、学者和珠算教师研究珠算的积极性。珠算理论和珠算方法，在各个方面都有新贡献。这对珠算运用于数学教育有着很好的支持作用。如河南金融管理干部学院的杨凌云 老师在1973年对乘法速算法（本个加后进）口诀进行了总结和改进，将原来的400多句口诀缩减为29句，大大地推动了此速算法（后来也将它通俗称为“一口清”）的推广和普及。20世纪世纪70年代，杭州编写的三算结合教材引用了29句口诀的速算法；上世纪80年代，陈子镜等还把“一口清”结合珠算用于三算结合课堂。还有吉林延边的金学范直接按珠算除法模型设计出称为“漏余数”的除法心算法，获得突出的效果。在此从珠算升华至数学新算法、由珠算模型繁衍心算法的研究氛围里，珠算教师和珠算界的专家学者们拉开了“珠算式心算”方法研究的序幕，开始翻译、学习和研究珠算式心算的方法，并在杂志上发表相关学术文章。在1960—1970年代珠算界在刊物（如余介石主编的《珠算教学研究通讯》）介绍讨论“珠算式心算”的基础上，（有文章或刊物例证更好。？）1979年12月，中国珠算协会又发行了由殷长生编译、朱永茂校对《国外珠算情况汇编》（广西漓江印刷厂印刷）。其中介绍了日本的“珠算式暗算”，主要介绍了日本加减心算、乘心算和除心算的方法；还有一些人发表有关文章，如王竹琴的 “珠算式心算的入门浅谈” 刊登在《中华珠算》（月刊）1983年第4期上，文章中谈到：“心算也叫口算，实际上是脑算，日本称之为暗算，即不用任何计算工具，通过脑的思维活动得出计算结果的一种计算方法。”，“珠算式心算对我国珠算界来说，其实并不陌生，早在很久以前，就有人能够掌握‘空算’的技术，所谓空算，就是用三指不是在算盘上而是在空中进行拨珠，从而求出计算结果，实际上空算就是珠算式心算。”再如王士祯的文章“怎样学习珠算式心算法”（作者本人就会珠算式心算，退休前一直至银行工作）刊登在《中华珠算》（月刊）1983年第5期（PP1-3）上。文中不仅给出了珠算式心算法的定义，还给出了学习珠算式心算要具备的条件和练习珠算式心算的方法。作者根据年轻时学习珠算式心算的体会。不仅是珠算式心算方面文章的发表和译著的出版，为一线的珠算教师学习珠心算提供了便利。更重要的是全国各地的小学数学老师和珠算 老师纷纷在小学珠算兴趣小组中进行珠心算教学实验，创造了史无前例的青少年心算记录。使人们认识到把珠算内化的心算（珠心算），是最简单、易学和高效的心算（特别是比笔算式心算——即现行学校数学教学的口算优越得多）方法。珠心算在学生中教学的成功，彻底解决了把“以笔算为基础的数学教学”改为“以珠算为基础的数学教学” 的难题。即只要把现行数学教学之“计算=笔写记录+口算（概念式心算）”模式，改为“计算=笔写记录+珠心算”模式即可。
1992年6月国家教委颁布了《九年制义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》，从教材体系和内容上看，没有什么变化，主要是在量上、难度上再一次删减。虽然有珠算，但是只学加减法。（注：使用珠算较多的地区，也可多学一些珠算。）等。
2000年3月，教育部颁布了《九年制义务教育全日制小学数学课程标准（试行修订版）》，又一次作删减；这次就完全取消了珠算教学。虽然珠算从《数学课程标准》中被彻底删除了，但珠算的计算功能和教育功能已经被很多一线数学教师和家长所接受，特别是珠心算的简单、易学和高效，是其它心算方法无法比拟的，而且更有很好的启智功能。因此，很多学校办起了珠心算训练小组、社会上的珠心算培训班也如雨后春笋般地冒出来，而且，珠心算也在很多学校进入校本课程，不仅大大地提高了计算速度，而且提高了数学教学效果和效率。
于是，进一步把珠算用于数学教育的研究、实验，应运而生了。如黑龙江的黄冠斌研究员在黑龙江省的七台河等地进行珠算珠心算与数学的整合的教学实验；再如，河南的郭启庶教授，在济源五龙口实验小学、郑州先锋学校等地进行的“优因数学”教学实验，等等。
优因数学是
按照优因数学知识结构系统，并以《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）为底线，编写了《义务教育课程高标准实验数学教科书》，进行了教学实验。从2002年第二学期开始，在河南省济源市五龙口镇实验小学进行教学实验。教材把优秀基因、范式又具体化为12条简化措施，不仅注重集中体现优因数学精神，而且融入了小学、中学、大学各级各类学校数学教学的成功经验，提供实际背景、创设情景、见木见林、选择恰当的发展路径、结构剪裁、例题习题安排、前后布局、联系对比、突出重点，采取有力的措施突破难点，还运用电脑制图优势，不仅文图并茂，许多地方就是以卡通图画揭示内容精神、通过类比、仿生等方法揭示内容和思想方法实质……总之，新知识结构体系和成功教学经验均具体地落实、结晶在教材中了。因而，老师用起来切合教学实际情况，得心应手，学生学起来饶有兴趣。保证了每学期教学顺利进行。
各册教材以率思想方法统率，突出基本数学思想方法，由计量——相似——周期——函数——数形结合，自然发展，联系成一个有机整体，每册都围绕着一个中心思想方法。不仅涵盖现行从小学到高中12年的普通数学教学内容，而且为了完善、自然而然、满足实际需要、密切联系成整体、吸取中西优秀数学教育资源、满足现代运用计算机的需要等等，还充实了许多内容。如开平方、开高次方、解高次方程，连分数与近似分数，行列式，综合除法，复杂的因式分解，由坐标求多边形面积，运用祖暅原理及推导柱、锥、台、球的计量，求闰年、星期，解同余式、同余式组，群、环、域，复数的三角函数式、指数函数式，不定积分，定积分，不定式定值（洛必达法则），用定积分求平面图形面积，旋转体积，旋转面面积，弧长，微分的应用，连续型随机变量，分布函数，密度函数，级数，还有许多量许多单位的应用题，以及高速度的脑算能力追求等等。大体上是小学六年的内容，三年完成，中学六年的内容四年完成。当然，优因数学实验不是为了单纯提高数学水平，而只是说明：运用优良品种可节约教学时间。如果不提高数学水平，那么小学数学只用原来一半的教学练习时间就可以了。如果，教学时间用原来的七、八成，程度还可以提高许多——达到了既减轻负担，又提高质量的效果。
2010年教育部颁布了《国家中长期教育改革和发展规划纲要》，纲要中允许在中小学进行各种各样的教学实验和探索。2011年颁布的《小学数学教学课程标准》中，算盘别作为计算工具列入。2012年中国珠算协会委托中央教育科学研究院和教育科学出版社编写出版了地方珠心算教材，而且有一些省市区已经将珠心算教材列入地方教材目录。
【1】钱宝琮，《中国数学史》，北京，科学出版社，1964年3月版
【2】马忠林主编，《数学教育史》，广西教育出版社，2001年4月第一版第一次印刷。
【3】郭启庶著，《数学教学优因工程》，海南出版社，2006年4月第一版，P99-100。
【4】课程内容和教学要求参见《奏定学堂章程》对应“学科程度及编制第二章”。
【5】教育部订定《小学校教则及课程表》，
【6】王权主编《中国小学数学教学史》p112—113，山东教育出版社，1996年8月第一版。
