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数学课程知识结构发展历史回顾与其创新的历史机遇

2017/6/2 14:07:49   http://www.shzxs.org  来源:上海市珠算心算协会   阅读:470人次

数学课程知识结构发展历史回顾与其创新的历史机遇

                   刘芹英(研究员 博士)

把数学的一些基本知识作为中小学数学教学的内容,以及怎样将这些知识组织编排起来进行教学,是在历史的发展过程中逐步形成的。数学课程内容往往是根据社会的实际需要,或认识倾向,或自觉观察、实验、研究、认识,或沿袭习惯方式等选择确定的。数学课程知识结构,其内部联系是紧密还是松散,主要由其运用的基本思想方法和机制的优越性而决定,这种优越性不仅影响着数学教学的繁简难易,也影响着能否形成简易、确切的解释系统。

一、 16世纪之前的基础数学课程知识结构情况

1、中国的基础数学教育历史概况

在数学的产生、积淀、创新和实用过程中,数学教育发挥了传承的作用。中国的数学教育在夏商之际已具雏形,西周已初具规模,春秋战国时期已经定型,数学成为学校必修课之一。我国的数学教育最早见于殷墟甲骨文中传授十进位值制的数学教育痕迹。利用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等13个数字,就可以计算成千上万的数。殷周之际,我国劳动人民创造了包括筹算在内的多种算具算法,都与十进位值制记数法的结合,形成了我国独具特色的算法化数学教育体系。我国古代数学教育相当发达,其核心指导思想是“经世致用”,也就是突出数学的实用性。

十进位值制记数法简捷而优越的机制,奠定了我国古代数学教育以计算为中心的基本框架。我国在商代已有完整的十进位值制记数法,这是在世界上最早的、也是最好的记数法。这种记数法不仅计数方法简便而且功能强大,还便于进行算术四则运算,更便于学习、普及和应用,它比古埃及的累数制记数法、古巴比伦的六十进位值制记数法、古希腊的分级符号制记数法、古罗马的五进的简单累数制记数法等都方便简捷得多。

算筹记数和四则运算可能是西周时开始的1。由于算筹记数法便于刻划、复制,因此,在我国古代数学典籍中,筹算成为标志性的记数和运算形式。因为算筹容易制作、随时随地可操作计算,相当形象,容易掌握,所以,它在历史上延续近2000年,直到宋元之际。我国古代的十进位值制记数法和算筹、算盘等算具相结合,形成了我国古代以计算为核心的传统数学教育体系和特色,创造了我国算法体系长期处于世界领先地位的辉煌业绩。

秦、汉王朝是我国封建制发展和巩固的时期,国力强盛,文化发达,传承以《九章算术》为代表的数学教育体系,奠定了我国古代数学教育的坚实基础。结构特点主要表现在以下三个方面:以解决应用问题为标志的数学教科书的开放式结构;以算法为中心内容的数学体系和计算工具数字化和模型化的思想方法。

魏、晋、南北朝时期,政权更替频繁,影响到官学的稳定和顺利发展,因而,教育的发展在很大程度上依赖于私学。私学多以儒经为主要课程,数学为辅助课程。魏、晋、南北朝时期是我国传统数学教育体系继续发展的时期,刘徽的《九章算术》注、《海岛算经》等,都是传统数学在“术”方面的最高成就,《张丘建算经》、《五曹算经》、《五经算术》等是传统数学在问题化的开放结构的扩大和发展。南北朝的数学专科学校,开创了数学教育的新阶段。

隋唐时期,我国在生产、科技文化上都有高度的发展,生产和科技的发展对数学产生新的需要,这种需要促进了数学的发展,无疑也促进了数学教育的发展。隋唐时期在数学教育方面创造了很多奇迹,建立了数学专科学校——算学,设置算学博士和算学助教。隋代开创了科举制度,唐代完善了它,这种独一无二的选官制度,对教育的发展起到了积极的推动作用。

宋代是我国封建社会高度成熟的时期,其官学、私学教育都很兴旺,还形成了独特的教育机构——书院。辽、金、元重视“汉化”教育,文教政策和教育制度基本上仿效唐宋,开设中央官学和地方官学,金元两代把小学也包括官学之内;同时,私学也比较发达。

明代官学中的数学教育远不如唐代和宋代,主要表现在中央官学不设算学,地方官学取消试算等。明代的私学教育,承宋、元之制而不衰,涉及数学教育的除启蒙小学教育中的书写启蒙外,尚有私学传授较高深的数学知识。吴敬的《九章详注比类算法大全》是适应明代经济发展状况的数学应用全书,程大位的《直指算法统宗》是符合日常商贸计算需求的经典的珠算教科书,这些著作都是针对教学需要而编写的。明代的数学教育向为商业服务的实用数学方向倾斜,珠算教育大为普及。

中国明代以前的数学教育,其计算工具是算筹和算盘。筹算与珠算比较,筹算除在印刷刻板方面比算盘图容易制作外,在实际运算中,无论是速度还是操作的简便上都不如珠算,加上明代商业的发展更加速了应用数学的发展,故明代筹算完全被珠算所替代,计算工具是以算盘为主。珠算的算法比筹算更简捷,更容易掌握,对数学教育的普及起到很好的推动作用。

2、西方的基础数学课程知识结构形成和普及的历史回顾

公元5世纪,西欧逐渐进入封建社会,教会掌握教育大权,僧侣教育和教民教育是中世纪教育的主体。教会学校主要讲神学,仅进行简单的计算知识教育,学校的“七艺”中,算术、几何都是为宗教服务的计算和测量知识。中世纪大主教学校是基督教会最主要的、水平最高的教育机构,以培养僧侣为目的,由主教或委托人管理,条件比僧院学校好,但数学教育也是发展不起来的。至于骑士教育,重在培训军事征战能力,就更谈不上数学教育了。总之,中世纪的数学教育是处于没落的谷底。

文艺复兴运动对教育产生了极大的影响。文艺复兴时期的人文主义教育不但强调人的作用,重视人的能力,扩大教育对象,创立新型学校;而且还注重改革教育内容,扩大学科范围,改进教学方法。

这里,以有代表性的德国、英国和法国2为例,进行回顾:

(1)  德国的数学教育

在文艺复兴运动处于高潮时期,在欧洲爆发了宗教改革运动。这场宗教改革运动的领导者是马丁·路德(14831546),他非常重视教育,主张大力发展初等教育,提出了初等教育的最主要科目是读、写、算、宗教四科。数学教育成为初等教育的基本学科,并对西欧产生了深刻的影响。

德国的拉丁学校没有开设数学课,在教会学校开设有几何和算术课程。随着商业发达而建立起来的计算学校,到15世纪已经成为城市教育系统的一部分。

(2)  英国的数学教育

    在英国的国语初等学校里,算术的计算法成了必教的课程。由于英国女皇不允许在大学教数学,贵族学校也拒绝实用算术,但社会又迫切需要实用的商业算术,在这种形势下,私立学校教授的算术知识就颇受欢迎。那时,英国大学的数学教育完全处于空白状态。

(3)  法国的数学教育

法国虽然是西方世界最早创立大学的国家之一,但在文艺复兴时期人文主义发展较慢。在法国推行的人文主义学校里开设有数学课,但这种数学课程接近古希腊的“七艺”中的几何、算术科目。古典的理论算术和欧式几何脱离实际应用。

法国和德国一样,16世纪以来。很多城市都有本国语的初等学校。这些下层市民的学校,都要学习简单的算术和计算法。

无论德国和英国,还是法国等欧洲国家,在16世纪之前,其数学教育都不太规范,也不太系统。计算均是采用累数制的“罗马数字”,与中国的十进位值制相比,要落后很多。不仅使用累数制,而且在表示多位数时,为了节省符号,还要采用“左减右加”的法则;这种表示方法,使得多位数的加减运算就很麻烦,乘除运算就更是显得繁难。

从上可以看出,西方数学与东方数学相比,有很大差距。不是西方向东方输出数学,而是东方向西方输出数学——如中国的十进位值制、印度的数码符号等经由阿拉伯传入西欧,以致把印度数码误称为“阿拉伯数码”,把十进位值制误认为“印度的发明”。           

二、 1719世纪的西方数学课程知识结构传遍世界

经过此前五个世纪的踌躇、徘徊和碰撞,到16世纪,欧洲为了使数学教育摆脱罗马数字累数算的繁难,不得不采用东方的十进位值制和“阿拉伯数码”,用十进位值制的笔算,取代了罗马数字累数算。随之,在社会上普及开来,以“商业计算”为代表的实用数学迅速发展,产生了人人可学的“大众数学”,推动了数学教育的空前广泛的普及。欧洲在1516世纪出版的普及数学(计算用笔算)读本不下300种,以适应数学教育的需要。

17世纪始,西欧的数学教育由落后走到领先世界的前列。下面以有代表性的德国、英国和法国为例,来说明的当时西欧数学教育的发展概况。

1、德国的基础数学课程

德国普通中学的数学教育,从内容到方法都比较落后,进入18世纪后,由于受弗兰克创建的学校影响,中学数学才逐渐增加一些高于普通计算法的内容。莱布尼兹的学生沃尔弗为改变学校数学教学的落后状况,编写了便于初学者及学校教学用的初等数学教材,该教材内容包括算术、几何、三角法、代数等部分。

2、英国的基础数学课程

1718世纪是英国计算学校的全盛时期。柯克(1631-1675)曾设立了一所私立的算术学校。他的代表作《算术》(初版,1678年)仅仅英文版就超过了100次印刷。此书的内容主要包括:整数、有四则运算,诸等数,比例,合股算法、混合算法;分数,有四则运算、比例等;兑换,假定法。

3、法国的基础数学课程知识结构

初等学校的教育内容主要是识字、教义问答和祈祷。受笛卡尔的影响,比较重视数学、历史、地理知识的教学。在教学方法上,他们采用了许多宝贵的教学原则和办法。

1638年,路易十三命令新建的贵族学校教授数学、地理、物理、徽章学、法语、意大利语、西班牙语、法兰西史、图书、音乐、马术、跳舞等。

总之,回顾起来,西欧为了数学教育的简易,一方面从东方借鉴优秀数学思想方法、机制(如十进位值制、阿拉伯数码);另一方面从希腊欧几里德几何吸取人们崇尚的逻辑方法;再一方面深入研究寻求新的途径,如韦达开创的符号化方向(符号代数),它又刺激笛卡尔创立了解析几何思想方法、引入了变量概念,最终导致微积分的创立——被公认为是领先世界的伟大数学成果,是西欧对数学发展的贡献。在创立微积分学过程中,莱布尼兹设计了简化的符号系统,进一步显示了符号化的巨大简化作用。

由于西欧的数学课程知识结构简易、优越,使其逐渐传遍全世界。显然,这其中也不能否认帝国主义殖民活动的推波助澜。

三、 清代中国的基础数学教育

清代对数学教育比较重视,无论是官学还是私学的数学教育都有新的发展。西方数学是在明朝末年传入中国清代的,对我国的数学教育产生了一定的影响。

1、中国传统数学教育

清代的官学体制一如明代,分为国子监(中央官学)、府州县学和社算(又称义学)三级三类学校。清代的书院基本成为官学,其中数学教育包括经学数学教育和专门的算学历算数学教育。清代(尤其是其前期)是我国历史上私学数学教育大发展的时期。

2、西方数学对中国数学教育的影响

中国数学教学,引入西洋数学课程内容与教法(也叫新学堂),始于1867年在京师同文馆设天文算学馆,1868年聘中国当时著名数学家李善兰为算学总教习。从此以后,地方和民间的初等教育中也逐渐引用西洋数学课程内容与方法。如1878年由张焕纶在上海创办的蒙正书院,1896年上海的三等公学,1898年无锡的三等学堂,1899年天津的蒙养东塾、北京的五城小学堂、广东逊业小学堂。教材除采用中国传统数学的《算经十书》、《数理精蕴》外,主要是邹立文与狄考文合译的《笔算数学》。算学课程的内容大体上是:“第一学年加减乘除,笔算、心算;第二年学开方;第三年学立方;第四年学平面量地法;第五年学代数;第六年学形学。”3

《笔算数学》分三卷,24章,内容为:开端,加法、减法、乘法、除法;数目总论、命分、小数、比例、百分数、利息;保险、赔赚、粮饷、税饷、乘方、开方、级数、差分、均中比例、推解、量法、总杂问等共2876个问题。采用白话文编写、讲解。显然,这是中国传统数学与西洋数学混合杂陈,不是相互融合或溶合,也没有全部照搬。

清政府从1901年起,开始实行一些所谓的“新政”,“改革教育”就是其中的一项重要内容。1902年,清政府公布了由管学大臣张百熙拟定的一系列“学堂章程”(即壬寅(1902年)学制),但是这个学制未及实行。清政府又在1903年名张百熙、荣庆、张之洞重加拟定,于1904年公布,即《奏定学堂章程》【即“癸卯(1903年)学制”】。与此同时,对科举制度也做了改革,直至废除。“癸卯学制”是我国近代第一个以法令形式公布并在全国推行的学校教学系统。该学制是仿日本学制确定的。至于教材,采用直接翻译日本教材或者自编教材,就是自编教材也是仿照日本教材的编写风格和结构进行编写的。

中国的数学教育,由中国数学与西洋数学杂陈而走向全盘采用西欧开创的数学课程知识结构的。日本比中国在数学课程全盘西化上先走一步,可以说中国半封建半殖民地的数学教育是从照搬日本而实现全盘采用西欧的数学课程知识结构的。在欧洲以外的世界其它地方采用西欧数学课程知识结构,大体与亚洲的情况相当。到了20世纪,世界各地的数学教育基本上都采取了西欧创立的以十进位值制阿拉伯数码的笔算、欧氏几何逻辑、韦达代数符号化等为主要思想方法、机制的数学课程知识结构。欧洲数学课程知识结构传遍世界的事实,充分说明了“笔算-逻辑-符号化等”基本思想方法和机制的优越性。

四、 20世纪以来的中国基础数学课程知识结构

 120世纪上半叶中国基础数学课程知识结构

数学作为全国颁行的学制中的课程始于“癸卯学制”。实际上,癸卯学制搬日本学制,将小学阶段分为初等小学堂和高等小学堂。“癸卯学制”小学数学课程内容和教学要求4是:

初等小学堂

第一年:算术(每周6学时):数目之名;实物记数;二十以下之算术;书法;记数法;加减。

第二年:算术(每周6学时):百以下之算术;书法;记数法;加减乘除。

第三年:算术(每周6学时):常用之加减乘除。

第四年:算术(每周6学时):通用之加减乘除;小数之书法、记数;珠算之加法。

第五年:算术(每周6学时):通用之加减乘除;简易小数;珠算之加减乘除。

教学要求是:“其要义在使知日用之计算,与以自谋生计必需之知识,兼使精细其心思。当先就十以内之示以加减乘除之方,使之纯熟无误,然后渐加其数至万而止,兼及小数;并宜授以珠算,以便将来寻常实业之用。”

高等小学堂

第一年 算术:加减乘除、度量衡、货币及时刻之计算;简易之小数。

第二年 算术:分数;比例;百分数;珠算之加减乘除。

第三年 算术:小数;分数;简易之比例;珠算之加减乘除。

第四年 算术:比例;百分数;求积;日用簿记;珠算之加减乘除。

教学要求是:“其要义在使习四民皆所必须之算法,为将来自谋生计之基本。教授之时,应稍加复杂算术。兼使习熟运算之法。 

显然,要比19世纪末小学堂的教学要求低很多,主要是自谋生计的基本知识。编排比较系统,已改中西数学杂陈混合为全盘西化数学,只是另补一块珠算。之所以必授珠算,乃为“将来寻常实业之用”。同时注意到了数学能使学生“精细其心思”的作用。

民国初年,19121913年教育部颁行新学制,后来称为“壬子癸丑学制”,比“癸卯学制”缩短了3年(初、高等小学各缩短一年)。但小学数学课程基本内容没有变化。其教学目的和要求是:“算术要旨,在使儿童熟习日常之计算,增长生活必需之知识,兼使思虑精确。初等小学校首宜授十数以内之数法、书法及加减乘除,渐及百以内,更进至通常之加减乘除,并授以小数之读法、书法及其简易之加减乘除,并授本国度量衡币制之要略。高等小学校首宜就前项扩充之,渐近授以整数、小数、诸等数(复名数)、分数、百分数、比例,并得酌授日用簿记之要略。算术宜用笔算及珠算。”5要求中提出“授本国度量衡币制之要略”、“算术宜用笔算及珠算”等,比之“癸卯学制”接近中国国情一些。这里“算术宜用笔算及珠算”,表明珠算不单是“将来寻常实业之用”,也可用于作算术题。

“壬戌学制”是由学习日本转向学习美国的结果。小学学制未6年(初小4年,高小2年),算术科的内容框架没变,只是删去了复杂繁难的题目,突出整数、小数、分数、诸等数(复名数)的四则运算和实际应用,在教学要求上具有一定的弹性。在1923年的《小学算术课程纲要》(第一学年到第六学年)中未列珠算,但在小学教学时还是有珠算,只是另外教学珠算,或者与算术交叉教学珠算,情况不一。

1929年教育部公布的《小学算术课程标准暂行标准》有一定的融合东西文化的意味,并明确就知识、技能、思维三个方面提出要求。该标准实施的三年间,虽显示出许多长处,但各地实际教学中,仍提出了不少问题。教育部根据各地意见,经过修改而成的《小学算术课程标准》于1932年颁布,1936年又经过修订,形成《修正小学算术课程标准》,主要是“小学暂免会考”,为了减轻学生负担,删繁就简,减少教学时数,内容前后有些移动,强调“以计算为中心”,要求珠算与笔算联络、结合。

从教学内容和教学体系上看,19371949年间的小学算术教学基本上没有变化,都是“以计算为中心”,都有心算、笔算、珠算。1942年《小学算术课程修订标准》提出的“教法要点仍强调以计算为中心,心算是算术的基础。笔算和珠算结合教学,以互相促进。珠算从第七册开始教学,到第九册,占课时的40%,而心算相对较少,第十册中只占26%。对心算、珠算的内容是否足够,要求各地酌情而定。”6其后,并未多大的变化。

上述情况说明,从20世纪以来,我国搬用西洋学制,搬用西洋数学课程知识结构体系和其规定的内容,到3040年代已经定型并稳定下来。

20世纪上半叶,中国数学教育改革的次数不能算少,如小学阶段至少经过:癸卯学制-壬子癸丑学制-壬戌学制-暂行标准-《小学算术课程标准》-《修正小学算术课程标准》-《小学算术课程修订标准》等等,但从数学课程知识结构来看,没有变化。究其原因,至少有如下两点是无疑的:(1)西欧数学课程知识结构,在找到“阿拉伯数码的笔算、欧氏几何逻辑、韦达代数符号化等”之后,还没有找到更强有力的思想方法机制,因此,知识结构的构建停滞下来;(2中国半封建半殖民地的社会条件背景的制约不能否定,没能想到从中国传统数学中找优秀思想方法,认为“笔算-逻辑-符号化等”构建的课程知识结构完美无缺,不敢碰它,更不敢去改变它。因此,即便对明显看到的事实(例如珠算比笔算简捷、实用,谁都无法否认)也只能视而不见,或者对照笔算,不同于笔算的地方便认为是珠算的“缺点”(如说因珠算“不能保留过程”,珠算就“不能教学数学”,教学数学“必须用笔算”,等等)。

2、下半叶中国基础数学课程知识结构

1949101中华人民共和国成立,新中国于当年的1223召开了全国教育工作会议,决定了建设和发展教育事业的基本方针:“建设新教育要以老解放区新教育经验为基础,吸取就教育某些有用的经验,借助苏联教育建设的先进经验。”7

19507月,教育部制订了《小学算术课程暂行标准(草案)》,其内容体系与过去的基本相同;与过去算术课程主要区别是:批评了杜威的实用主义教育思想,否定了“随机教学、设计教学法”,不再实行“第一学年不正式学算(随机在课内外,家庭学校场合帮助孩子解决有关数量问题)”的做法,从一入学就开始学算,原来6年的内容,安排在5年学完;珠算于三、四年级单独设课,每周均为2学时。但是,这个“暂行标准”并没有完全付诸施行,因为难于立刻编出与之相应的教材,只能先采用过渡教材。正当积极准备修订过渡教材,筹划编出与之相适应的教材时,又决定采用苏联教材编译本。

当时使用过渡教材的大体情况是:北方的一些地区积极使用老解放区课本,南方各地区选用了俞子夷编写、大东书局出版的份初小、高小的算术课本。“19507月,中央教育部决定从秋季起全国选用两套算术课本,一套为刘松涛等编写的、由华北人民政府审定的老解放区课本,另一套为俞子夷编写的、由东大书局出版的课本。19514月,教育部决定秋季全部换用俞子夷编写的课本。但这套课本因为是旧课本,存在着编排不够系统,应用题联系实际不够等缺点。1952年决定对这套教材进行修改。”81952年夏天,人民教育出版社突然决定在全国统一使用苏联教材编译本。

195212月,教育部公布《小学算术教学大纲(草案)》,把苏联初等学校前四年的算术教学内容,拉长为5年,小学统一规定实行五年一贯制,一至五年级的算术课程分别为56777学时。但在实施过程中,发现师资和教材等方面都有困难,便于195311月由政务院发出指示,停止五年一贯制,仍沿用六年(四二)制。1955年,人民教育出版社编译出全套小学算术课本:《初等小学算术课本》8册,《高等小学数学课本》4册。除极少部分外,其内容、编排体系、体例等均与苏联课本相同。

1958年至1961年的大跃进时期,教育部根据教师所提教材的缺点,对小学算术教材进行了调整和补充,把初中一年级的算术交叉内容下放到小学算术中。针对1958年以来的“极左”思想指导和“浮夸风”,1962年降低要求又回到小学六年制的12册教材,1963年教育部颁布了与之吻合的《全日制小学算术教学大纲(草案)》。

1963年的大纲和教材针对19581961年间的“高指标”、“求急”、“过快”等偏向,提出:加强基础知识教学和基本技能训练,以四则计算为中心,着重讲授笔算,适当讲授口算,不仅口算是笔算的基础,而且笔算也可使口算易学;整数部分改为20以内、100以内、万以内、亿以内四个循环圈;还提出在小学里应该注重讲授珠算,特别是讲授整数、小数的四则计算。为了提高了教学要求,增多了练习题的数量,增加了练习题的难度。但在做法上,与苏联的教材基本一致。

19671976年的“文革”时期。这期间,原有的教学大纲和教材,作为“封、资、修”黑货受到批判。人教社统编工作停顿,各省、市均可自行编写教材。1968年起,各省、市陆续组织自编教材,实际上,还是原来的教材内容和框架,只是缩短学制,小学一般为五年,取消考试。

“文革”结束后,1977年开始“拨乱反正”,又回到1963年数学教学大纲和教材,从体系上看,仍然是苏联大纲、教材的框架原型。19782月教育部颁布了《全日制十年制学校小学数学教学大纲(试行草案)》,从1978年至1983年,人教社出版了全套课本。其间,统编者主要研究了苏联、日本、美国、英国、法国、联邦德国等国的教材,采取了精选、增加、渗透措施。

19855月,中央发出进行教育体制改革的决定。1986年国家教委决定教材的“编”与“审”分开,允许各地按国家规定的教学大纲编写多种教材,经审定后,各地可以选用,标志着我国进入“一纲多本”的时代。实行“一纲多本”后,到1995年底经过审定的小学数学教材有五种,分别是:《“三算结合”教材》,杭州师院与黑龙江教育学院合编;《小学实验课本数学》,北师大教育系与景山学校合编;《小学数学实验教材》,中央教育科学研究所编;《现代小学数学》,中科院心理研究所刘静和主编;《实验数学》,华中师大姜乐仁主编。

19926月国家教委颁布了《九年制义务教育全日制小学数学教学大纲(试用)》,从教材体系和内容上看,没有什么变化,主要是在量上、难度上再一次删减。指出:笔算加减法以三、四位为主,一般不超过五位数;笔算乘除法以乘数、除数是两位的为主,一般不超过三位数乘三位数和相应的除法。四则混合运算以二、三步为主,一般不超过四步。珠算只学加减法。(注:使用珠算较多的地区,也可多学一些珠算。)等。

20003月,教育部颁布了《九年制义务教育全日制小学数学教学大纲(试行修订版)》,又一次作删减。例如:“笔算加减法由原来的三、四位为主,一般不超过五位数”改为“以三位数为主,一般不超过四位数”;笔算乘除法由“以乘数、除数是两位的为主,一般不超过三位数乘三位数和相应的除法”改为“乘数一个数不超过两位数,另一个乘数不超过三位数”,“除法除数不超过两位数”;四则混合运算由“以二、三步为主,一般不超过四步”改为“以两步为主,一般不超过三步”;完全取消了珠算教学。

总结20世纪下半叶我国的数学教育情况:1949年到1966年之间,我国的小学数教育主要是搬用苏联的教学体系、内容和框架;“文革”时期我国的数学教育由大统编改为了小统编;1986年实行了“一纲多本”的教材编写措施;从1992年开始实行了九年义务教育,教学内容与以前相比有所删减,特别是珠算只要求讲授加减法;2000年对九年义务教育教学大纲进行了修改,对教学内容又一次删减,完全取消了珠算教学。

20世纪下半叶,我国的中小学数学教育,先是搬苏联教材,后来就是采取一些增删、前后调整等措施,来改编苏联教材。苏联的数学课程知识结构也是西欧的,教材从照搬苏联到做些改编,只不过在数学课程之外,又加一门珠算,另外编一本珠算教材。70年代,一些地方曾经把珠算与小学数学知识混合在一起编写教材,实行笔算、口算、珠算的“三算结合”教学。

回顾20世纪中国数学教育,搬日本、搬苏联、搬美国……但从数学课程知识结构上看是同源——都是西欧运用笔算-逻辑-符号化等”编织的教学知识结构系统。

这一历史事实说明:(1笔算-逻辑-符号化等”是西欧16世纪以来,从东、西方数学历史中提炼出来的,弥足珍贵的编织数学课程知识结构所需要的优秀基本思想方法、机制(或者简称基因)。优秀数学思想方法和机制不是想有就有的,也不是随便就可以寻觅到的,所以,尽管几百年来世界各国各地数学教材有着砍砍补补、抹抹焊焊、挪挪换换……诸般差异,但是,从“笔算-逻辑-符号化等”构建的课程知识结构的本质特征看,并没有实质性的变化。(2)构建数学课程知识结构的优越的基本思想方法、机制相当隐秘、稀缺,不是轻易能够寻觅到的,所以,几百年来各地各国都还是采用16世纪构建的数学课程知识结构。一者,可能是从事数学教育工作的人们从未往这方面想,只是把精力放在如何按此现成的知识结构教学的研究上,以期取得教学的好成绩;二者是数学优秀基因的稀缺性、隐秘性、深刻性,不是任何一个人在其短暂的一生中能够创造出来的。不仅需要有历史的积淀,更需要现代人不那么自负,能抱着敬畏的精神躬身深入到世界各民族数学创造的历史遗产中去细致发掘;三者是验证数学教学的优秀基因,需要相当长的时间,短时间内往往难以得到专家共识和大众承认,更难以得到推广采用。

二次世界大战后,社会、经济和科学均有突飞猛进的发展。苏联卫星首先上天,引起欧美各国于20世纪60年代初搞起了“数学教育现代化运动”(即新数学运动),急于使中小学数学教育现代化,为大量增加现代数学内容,只能大砍删基础数学知识技能,一时风起云涌。但到70年代中期,这种热闹景象便不复可见,其式微的急遽正可与兴起的迅猛相比,“回到基础”的呼声一浪高过一浪,宣告“新数学运动”失败。这段历史事实说明:不从改革数学教学基因入手,通过简化(如同把罗马数字累数算改为十进位值制的笔算而产生巨大简化那样)而达高效,腾出时间增加现代数学的内容,而企图通过砍删基础数学知识技能来腾出时间增加现代数学内容是行不通的。换句话说,追求简易高效,不首先从基础层选择优秀数学基因入手,而是砍掉基础知识,或者仅从上层考虑增加现代化的数学内容,是不切实际的空想,历史证明这是一条失败的道路。

认识并采用优秀数学基因是非常困难的。例如,上世纪70年代,中国兴起声势浩大的“三算结合”教学实验,人们仍然未认识到珠算符号、模型是优秀数学基因,不知道用珠算替代笔算构建新的数学课程知识结构,而是在“笔算-逻辑-符号化等”构建的数学知识结构上硬贴上一块珠算,显得可有可无,其结果是实验了30年,“三算结合”教学还是以“珠算落后”、“加重负担”等缺乏基本分析的“理由”莫名其妙的给停下来,与采用优秀数学基因改革知识结构的机遇擦肩而过,又回到400多年前西欧构建的、已经不适合电子计算机时代的老的数学课程知识结构上。

中国发明了十进位值制,但中国数学界并没有给它做出细致到位的评价。倒是拉普拉斯从数学基因层面进行了精密分析评价:用十个记号表示一切的数,每个记号不但有绝对的值,而且有位置的值,这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想,它今天看来如此简单,以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便,才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位;而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼的天才思想的关注时,我们更感到这成就的伟大了。”9不过他

把此说成是“出自印度”——造成此误,谦虚点说中国数学家也不能说没有责任。之后,中国数学家才跟着肯定“十进位值制”如何了不起……

对于珠算,没有见到中国数学家像拉普拉斯那样从基因层面进行深入细致地分析研究,见到的多是拿珠算与电子计算机笼统的、片面的对比——只是就上层比较而不是从基因的层面比较,就像拿婴儿与成人只比较赛跑而不比较器官、系统活力和基因那样。从而说什么“珠算落后”…… 其实,至少可以拿珠算与笔算细致全面比一比,这样才具有可比性,看看珠算与笔算到底谁落后。

如果像拉普拉斯分析十进位值制那样分析珠算机制——珠算不仅有“位置的值”,还有构造记号的绝对的值大智慧,从而使珠算有计算功能——拼排符号即完成计算;还有存储符号的智慧——已知数、未知数储存同一个单元,此单元还可用了再用,从而使珠算成为手脑机通用算法;还有一体性——输入、储存、运算、输出一体完成,直观,至快;还有二元示数的智慧——使得只制加法器就能实施加、减法运算,使正负数自然天成,使简捷算法成常规,顺理成章;还有数与图、计算与图形变换融为一体的智慧;还有算具兼万能制图工具的智慧。这些“今天看来如此简单,以致我们忽视了它的真正伟绩。”如果用于数学教学(特别是构造课程知识结构),“恰恰是它的简单性”可以“在一切有用的发明中列在首位”,从数学教学的教具、学具以及数学基因的层面看可以说世界上没有胜过珠算的。“而当我们想到它竟逃过了”我国现代“最伟大的”数学人物“天才思想的关注时,我们更感到这成就的伟大了。”

五、 数学课程知识结构创新的历史机遇

1、数学课程知识结构创新的机遇已经到来

20世纪进入了电子计算机时代。而笔算模型(机制)与电子计算机计算模型(机制)是矛盾的。例如,运用笔算数学课程知识结构,解释不了电子计算机算法基本语句,如AA5(此算法语句体现了计算机计算模型或基本机制),这用我们熟知的笔算数学无法解释,又不能让计算机采用笔算模型。这就从基因层面上动摇了以“笔算-逻辑-符号化等”为基因构建的数学课程知识结构,可见这个知识结构不是十全十美的,也不可能是永恒的。

珠算虽然一直受到官方支持的以“笔算-逻辑-符号化等”为基因构建的数学课程知识结构的排斥,但从20世纪60年代起,世界各国纷纷在进行数学教育的改革中,有意无意引入了珠算,虽然还未作为数学基因用于改革知识结构,但显示了一种不满足笔算,青睐珠算的倾向。如:美国曾于80年代把我国的珠算作为新文化引入,用于小学数学的教学改革;日本学校在疏远珠算10多年后,目前小学阶段珠算又恢复为必修课。兵库县向日本政府报告,申请在尼崎市办珠算教育特区,将小学珠算教育由10课时增加到60课时,并经小泉内阁批准;马来西亚前总理马哈蒂尔十分重视珠算珠心算教育,从中国聘请教师担任教育部珠心算教育高级顾问,经过67年的实验和准备,经内阁和议会通过,从20051月起,珠心算列为小学一、二年级必修课;匈牙利全国有3000所小学,学习珠算的有400所;如此等等。

李大潜院士在论述 “数学教育该走什么路”的问题时反复讲:“数学是一个整体的观念非常重要”,“对于数学教学也应该努力按照数学是一个整体的精神来安排,使学生真正理解数学,掌握数学。把统一的数学划分为支离破碎、没有内在联系的若干个分散、零乱的‘知识点’,然后随意的将它们组合、搭配起来形成各种各样的‘拼盘’交给同学,是一种缺乏科学态度的做法,也很容易将同学引入歧途。”“掌握了数学的思想方法和精神实质,就可以由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论,显示出无穷无尽的威力。”10李院士所说的“知识点”“拼盘”显然有着实际的背景。

怎样使中小学数学成为“一个整体”?如果没有优秀的数学基因,即便有心也无力。人们赞赏以函数为统率,以数形结合为基本方法,那么,在小学数学中应该如何体现这种思想方法?

华罗庚论数学之为用时说:“数(sh\u)起源于数(shu,如一、二、三、四、五……,一个、两个、三个……。量(lia\ng)起源于量(lia/ng),先取一个单位作标准,然后一个单位一个单位地量。天下虽有各种不同的量,……但都必须通过数才能确切地把实际情况表达出来。”11这是从数、量、计量单位及其相互作用讲起的,也即讲述的就是率思想方法。运用率思想方法,可以从一开始就把数学教学成一个整体。根据郭书春教授研究,《九章算术》就是“以率为纲”的。20世纪60年代,郭启庶教授创“应用题表解法”,70年代他编的三算结合教材采取“以计量为线索”,实质上就是运用率思想方法。

电子计算机不用笔算模型,笔算相对于珠算繁难偏旧,占用大量教学时间,阻止了数学现代化的进程。2010年教育部颁布了《国家中长期教育改革和发展规划纲要》,纲要中允许在中小学进行各种各样的教学实验和探索。温总理在《教育大计,教师为本》中明确提到要“办出具有中国特色、中国风格、中国气派的现代化教育。”“要深深地懂得中国,结合中国的实际和国情,推进教育改革、优化教学结构、更新教学内容、改进教学方式。”……表明有着弘扬中国优秀文化的进行创新的良好环境条件。这一切说明数学课程知识结构创新的历史机遇已经到来。

     2、“优因数学”及其教学实验

由于数学优秀基因稀缺、隐秘、难觅,造成难以改革创新数学课程知识结构的局面,从而使得基础数学知识技能的教学时间难以缩短。信息时代的数学教育,急需要充实现代化的数学内容,但在中小学教学时间有限的情况下办不到,采取砍删基础知识技能的办法又不行,“新数学运动”实验失败了。可行的途径,只能是寻觅优秀数学基因,简化基础数学教学(如笔算代替罗马算法那样),节约时间,用于教学现代数学内容。

郭启庶教授寻觅并论证了珠算符号、模型和率思想方法是世界上优秀的数学基因、范式,并且与符号化思想方法等西方数学优秀基因、范式融合在一起,编织了新的数学课程知识结构—— 优因数学。

按照优因数学知识结构系统,并以《全日制义务教育数学课程标准》(实验稿)为底线,编写了《义务教育课程高标准实验数学教科书》,进行了教学实验。从2001年下半年开始,按照优因数学教学体系编写第一册教材,从2002年第二学期开始,在河南省济源市五龙口镇实验小学进行教学实验。在实验教材的编写过程中,根据实验的情况及时调整教材的下一册内容和份量,每册教材70100页左右,每学期教完一册教材。教材把优秀基因、范式又具体化为12条简化措施,不仅注重集中体现优因数学精神,而且融入了小学、中学、大学各级各类学校数学教学的成功经验,提供实际背景、创设情景、见木见林、选择恰当的发展路径、结构剪裁、例题习题安排、前后布局、联系对比、突出重点,采取有力的措施突破难点,还运用电脑制图优势,不仅文图并茂,许多地方就是以卡通图画揭示内容精神、通过类比、仿生等方法揭示内容和思想方法实质……总之,新知识结构体系和成功教学经验均具体地落实、结晶在教材中了。因而,老师用起来切合教学实际情况,得心应手,学生学起来饶有兴趣。保证了每学期教学顺利进行。实验表明:只要原原本本按照教材教学,就能够获得突出的效果。

各册教材以率思想方法统率,突出基本数学思想方法,由计量——相似——周期——函数——数形结合,自然发展,联系成一个有机整体,每册都围绕着一个中心思想方法。不仅涵盖现行从小学到高中12年的普通数学教学内容,而且为了完善、自然而然、满足实际需要、密切联系成整体、吸取中西优秀数学教育资源、满足现代运用计算机的需要等等,还充实了许多内容。如开平方、开高次方、解高次方程,连分数与近似分数,行列式,综合除法,复杂的因式分解,由坐标求多边形面积,运用祖原理及推导柱、锥、台、球的计量,求闰年、星期,解同余式、同余式组,群、环、域,复数的三角函数式、指数函数式,不定积分,定积分,不定式定值(洛必达法则),用定积分求平面图形面积,旋转体积,旋转面面积,弧长,微分的应用,连续型随机变量,分布函数,密度函数,级数,还有许多量许多单位的应用题,以及高速度的脑算能力追求等等。大体上是小学六年的内容,三年完成,中学六年的内容四年完成。当然,优因数学实验不仅是单纯提高数学水平,而只是说明:运用数学优良品种可节约教学时间。如果不提高数学水平,那么小学数学只用原来一半的教学练习时间就可以了——这有多么大的减负作用。如果,教学时间用原来的七、八成,程度还可以提高许多——达到了既减轻负担,又提高质量的效果。

现在,优因数学教材已经完成第18册,现行中小学数学教材内容已被涵盖无遗,教学实验已经到16册。1718册全部是大学内容。因此,可以说,优因数学教学体系已经构建起来,也即数学教学新品种已经培育出来了。

似乎可以这样猜想:当年“新数学运动”如果不是建立在原来“笔算-逻辑-符号化等”为基因构建的旧的数学课程知识结构的基础上,而是建立在“优因数学”基础上,也许不会激起“回到基础”的潮涌,能改变其失败的命运

 

考文献

【1】   钱宝琮,《中国数学史》,北京,科学出版社,19643月版。

【2】   马忠林主编,《数学教育史》,广西教育出版社,20014月第一版第一次印刷。

3】郭启庶著,《数学教学优因工程》,海南出版社,20064月第一版,P99-100

4】课程内容和教学要求参见《奏定学堂章程》对应“学科程度及编制第二章”。

5】《教育部订定小学校教则及课程表》,19121222订。

6】王权主编《中国小学数学教学史》p112113,山东教育出版社,19968月第一版。

7】同【6】,P277

8】曹飞羽,《课程教材研究十年》,人民教育出版社,19938月,P99

9[]T.丹齐克《数,天才的语言》16页,苏仲湘译,商务印书馆,1985年第一版。

  10】参见《数学教育该走什么路》一文,载《光明日报》2005672版。

11】《华罗庚科普著作选集》327页,上海教育出版社,19973月第2次印刷。该文有这几个小标题:数与量、宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁、数学之发展。

 



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