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珠算“数形结合”思想及其现代应用价值
2021/5/18 11:20:47 网站：http://www.shzxs.org 来源：上海市珠算心算协会
珠算“数形结合”思想及其现代应用价值
刘芹英
摘要：中国珠算“数形结合”思想古已有之，主要体现在珠算象形题方面，近现代则得到了较快发展。珠算数形结合思想不仅体现了中国古典著作《易经》中“理、想、数”三条法则，即使在计算机普及的现代仍具有很强的现实意义。珠算数形结合思想不仅可以作为计算机点阵图实物模型的作用，而且可以实现几何内容的早教育，同时还具有简化和完善现有几何教学等方面的作用和价值。
关键词：珠算 数形结合
一、数形结合概念
周所周知，数与形是数学中两个最古老、最基本的研究对象，而且这两个研究对象在一定条件下是可以相互转化的。也就是说虽然数与形是两个不同的研究对象，但它们之间并不是完全隔离的，相互之间是有联系的，这个联系就被称之为“数形结合”，或“形数结合”。本文采用“数形结合”名称。
二、珠算数形结合思想的起源及发展
由于中国算盘结构的科学性及其靠梁算珠与靠框算珠均能示数的方法，即二元示数；使得运用算盘进行计算时，“数”与“形”可以巧妙地结合在一起。众所周知，虽然历史上很多国家也曾出现与使用过算盘，如罗马算盘和俄罗斯算盘等，但数形结合思想是中国珠算所特有的。
“数形结合”的思想在古代珠算中就已出现，只是当时没有数形结合的概念而已。例如，我国传统珠算中的珠算象形题“狮子滚绣球”，当时的作用主要是增加珠算练习题目的兴趣和起到验证珠算结果正误的作用，而实际上，象形题已经是数形结合思想的体现。用现代的眼光来看，珠算象形题不仅可以充分发挥人们的形象思维能力，还有助于培养空间想象能力。
例如：1,953,125×512=1,000,000,000。此多位数乘法题传统中被称为“狮子滚绣球”，因为此题得数在算盘上的非零数字只有1，其珠图形像一个球。传统珠算象形题在现代珠算中不仅得到了很好地继承，而且还在不断创新与发展。如现代珠算珠心算教材中经常出现的、也是大家都熟悉的“红旗飘飘、凤凰双展翅、华表双立、三顾茅庐”等数形结合的算题，不仅仅是作为象形算题而出现的，而是更注重数形结合思想的体现。
如果让学生将123456789拨在算盘上，就可以看到如下图1中的图像——算珠图看似两面小红旗，我们也可形象地说“红旗飘飘”。让学生在算盘上做如下多位数乘法题：493，817，284 × 25，其正确答案是12，345，432，100；该答案在算盘上梁珠数的图像如下图2所示，形象地看似“凤凰双展翅”。因此，此多位数乘法算题被称为“凤凰双展翅”，也有的人说是“蝴蝶飞飞”。
图1 红旗飘飘 图2 凤凰双展翅
再如：158 545 853÷83=1910191。此多位数除法题称为“华表双立”（如下图3），因为此题得数在算盘上的（靠梁珠）算珠图像天安门前的华表。如果得数非此，立刻知错。还有多位数除法算题：6 51 318 066 963÷333=1955910111，进行除法运算的过程也伴随着算珠图形的变化，最后得数在算盘上的珠图如下图4，珠图左段可以形象地看作是门形（茅庐），当然是属于赋形；而除数333已经有3人三顾的意味，得数珠图门形右边的3个1，意为刘、关、张三人伫立静候，属于写意。
图3 华表双立 图4 三顾茅庐
如果将数154，915，125 拨在算盘上，其算珠图很象一条龙； 然后，我们对该数进行珠算的“见子打”运算，“见子打”就是档上有几就再加几。由于数与形是结合在一起的，在其计算过程中算珠图也伴随着发生变化，“见子打”三遍后，盘上的得数为1 239 321 000，算盘上的算珠图如下图5，被形象地称为“蝴蝶”【1】。从珠图的变化来看，在运算之初珠图像是一条龙，运算结束后运算结果的珠图像是一只蝴蝶，因而也可以将该算题称为“龙变蝴蝶”。
显然，类似于这样的例子还有很多，篇幅有限这里无法穷举。总之，珠算的运算过程能充分体现数形结合的思想方法，也可以说珠算是将数与形融为一体的。
三、数形结合思想的现代意义和价值
由于算珠图是采用离散方式表示图形，相对于模拟线围图而言，珠图比较容易识别、操作和处理。如果将算盘和珠算运用于数学启蒙教育，其效果就是教学数运算的同时也在教学图形，而且是任意图形，当然包括了模拟线围几何图形的教学因素。这样一来，不仅可以实施几何的早教育，还可以简化和完善现有的几何教学。
1、对现有几何教学的简化作用【2】
相对于线围图而言，由于珠图采用的离散方式，更便于识别、操作和处理。如下图6中用算盘的下珠排列成一个珠矩形，对于低年级小学生容易认识和辨别；如果我们用一颗算珠作为“面积单位”，那么就可以采用数数的方法而求出该图形的“珠面积”。
如上图6中左边用算珠排成的珠矩形的珠面积是12珠，完全可以用数算珠的方法数出来，也可以是长4珠与宽3珠的乘积数，即是长乘宽得面积数；上图7是用算珠排列成的珠梯形，而且是等腰梯形，其珠面积是16珠。实际上，用这种方法推导出梯形的面积公式也是非常容易的。
我们运用数形结合思想方法，在上述珠图中，看到的均是用梁珠来表示珠图，那用框珠能不能表出珠图呢？当然可以，那是因为珠算能“二元示数”的缘故。“二元示数”的概念及其应用情况在以前文章中已有专门论述，这里不再赘述。这样一来，不仅用梁珠可以排成几何图形，框珠也能排成几何图形。我们一起来看算盘的下珠组成的珠梯形，（如下图），同样还是用一颗算珠作为“面积单位”。如：左边靠框4列白色算珠排成梯形珠面积，可以数出来是14珠；靠梁红色算珠排成的珠梯形的珠面积是28珠；那如果问右边靠框白珠排成的珠梯形的面积是多少，也可以数出来，这些工作，幼儿园的孩子都能够完成。
如果采用现行数学启蒙教育中模拟图形的教学方式，一般要到小学四、五年级方可教学这些内容。再者，如果采用模拟图形方式的，让幼儿园孩子画矩形、梯形也是很难的，甚至有时还难易办到。而幼儿不仅能够在算盘上用算珠排出矩形、梯形等这样的几何图形，而且也激发了孩子对几何的学习兴趣。同时也达到了几何的早教育，对现有几何教学起到了相当程度的简化作用。
几年前，在河南五龙口镇实验小学的“优因数学”教学中，本人亲眼看到一名小学数学教师在用数形结合的思想方法教学进行几何教学。教师谈到珠图一直深受学生喜爱，一幅成人看起来很普通的图，在孩子眼中却是各式各样、丰富多彩的。教师还举例说明了在二年级第一学期的教材（第三册）中的第20页有求珠面积的一个题目的教学情况。“如下图所示：
我认为学生想到4×2+6×4，6×6-4，就算完成教学任务了；而让我大吃一惊的是学生的发散思维很活跃，很多想法是我本人都没有想到的，在为学生的想法叫好同时，也为自己的思维方式单调而感到惭愧。如（1）4×2+6×2，（2）6×6-4，（3）2×12+8，（4）4×8，（5）6×4+8，（6）5×6+2，（7）4×3+4×2+4×3，（8）3×12-4，（9）10×3+2；每次点阵图练习课上，学生往往宁可不下课，也要说出自己的想法，这充分显示了学生对知识的渴望，对优因数学的喜爱。”【3】
总之，如果用模拟图形的方式，让幼儿和低年级小学生画出矩形梯形等比较困难；而采用算盘上离散的图形方式来教学几何，可以使得原来的几何教学变得简单易学，为实施几何早期教育奠定了基础。
2、对几何教学的完善作用
目前，现行中小学数学中，还是只有模拟方式的图形（即线围图）的几何教学内容，没有离散的、数字化的几何教学内容，可以说在当今计算机普及的时代还不够完善。换句换说，目前的几何教学还存在缺陷，需要积极改进和完善。如果在现有数学教学中，采用珠算中数形结合的思想方法，引入算珠图，（算珠图完全可以看做数字化几何的实物模型，而且很好地体现了数字化几何的思想方法），不仅可以使现有的几何教学得到进一步完善，而且还能够使现有数学教学更加适应现代化发展的需要。
在基础数学教育中引入珠算，不仅对于简化计算（从而简化一系列内容的教学）有利，而且对于几何的早教育及简化与完善几何教学均有利。尤其能够在孩童时期就开始培养数形结合的观点，创造了良好的契机，并且对于孩子们的终身学习也更加有利，从而在相当大的程度上，改善了一代又一代人的数学学习方法和模式。
总之，如果将珠算的数形结合思想方法引入现行小学数学教学，不仅可以使数学教学一开始就采取数形结合的方式进行，还可以实施几何的早教育，并对现有几何教学起到简化作用；再就是珠算数形结合中的珠图（珠阵图）是计算机点阵图的实物模型，可以起到完善现有几何教学的作用，同时还能与计算机教学有机结合，满足数学教学适应现代化发展的需要。
【1】郭启庶著，《优因数学基础》[M]，河南科学技术出版社，2014年9月第一版，第一次印刷，P44。
【2】刘芹英，“珠算、珠几何与计算几何”[J]，《新理财》2005（11）：20-21。
【3】 河南省济源市五龙口镇实验小学优因数学课题组，《实验纪实》，P65。
