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从美国共同核心课程的施行探讨珠心算教学的走向
2017/6/23 14:13:58 网站：http://www.shzxs.org 来源：上海市珠算心算协会
从美国共同核心课程的施行探讨珠心算教学的走向
中美珠心算学会创会 黄惠姜
前言
在美国，从90年代的数学论战、回归基本的呼声，1991年颁布的《美国2000年：教育战略》(America 2000: An Education Strategy)，致力于开发具有国际竞争力的美国优异教育标准，从而在全国范围内掀起「标准本位」(Standards-based)的教育改革浪潮。 1994年又颁布了《2000年目标：美国教育法案》(Goals 2000：Educate America Act)提出编制全国教育标准，对全国中小学的课程、教学和评鉴加以规范。不过美国教育体制属于州政府权限，因此各州仅在参考全国课程标准的基础上再自行订定的州立标准。进而到2001年的“有教无类法案”(No Chile Left Behind Act)， 2009年的“力争上游计划”(Race To the Top) 都是想提升各级学校的水准与竞争力，也都影响到学校数学教育的施行。根据每四年一次的国际数学与科学教育成就趋势调查(Trends in International Mathematics and Science Study)：由四年级与八年级的平均分数来看，每次报告出来约有1%到3%之间的进步，但距离顶尖仍有一段差距。实际上2002年起各州为了逃避学生学业成绩未达标准会遭受有教无类法案的惩罚，于是纷纷降低要求标准，使得先前(1994年)所订的“全国标准”权威性和实效性大打折扣。当2006年国际学生能力评鉴计划─ PISA (Program for International Student Assessment) 成绩公告后，美国学生的数学与科学素养的评比结果表现均低于经济合作与发展组织─ OECD (Organization for Economic Co-operation and Development) 国家的平均水准。由于基本教育的平庸表现再再困扰教育当局，因此2009年3月美国州长协会 (National Governors Association, NGA) 和各州教育长官评议会 (Council of Chief State School Officers, CCSSO) 联合发起设立全国统一的「共同核心数学和英语州立标准」行动，并于2010年6月公布了共同核心课程标准(Common Core State Standards)，在今年(2014)于43个州施行，算是进入国家课程标准时代的来临。
共同核心课程标准其目的在统一美国K-12年级课程标准，以确保学生做好「升学和就业的准备」，有教育专家认为新标准在于改革现时侧重于测验和讲义的教学模式，强调批判性思考和逻辑推理训练。二十多年来数学教育改革与传统教学间的论战是持续的，共同核心标准仍等待教材教案、教师训练、课室教学的落实。
从2009年与2012年PISA数学评鉴(图1)，大略看看世界各地的数学成绩落点。美国由2009年的487分，2012年居然退步为481分，颇令人失望。但让支持共同核心标准的实施多一分助力。上海超过600分，其他东亚地区大部分也在500分以上。
可以说共同核心标准的制定是不少教育界政界在多年PISA, TIMSS评比下抛弃过去的教科书数学「一哩宽一寸深」的模式，并参照各州与多个国家的标准来厘订。希望能摆脱一贯数学教改的泥淖。
图1‧2009年与2012年PISA数学评鉴
共同核心课程标准的来由与内容简介
根据2013年11月《缩小期望差距2013年度报告》 (Closing the Expectations Gap 2013 Annual Report) 【1】已有43州采用共同核心标准，大多于2014-2015学年度实施。
什么是共同核心标准？
共同核心标准是一组由幼儿园到12年级的学习目标，这些标准是用来让学生做好升学或就业的准备，从而提升美国在国际上的竞争力。目前标准包含两部份：一为英语语文艺术标准，一为数学标准。本文以探讨数学标准为出发点。虽然我们认为在小学数学教育阶段，唯有扎实的算术基础更能激励学生的逻辑思考与推理。我们过去也在不同的数学改革声中与回归基础的拉锯战中，持续推广传统珠心算教学与文化。但共同核心标准的实施动摇全美幼儿园到高中的教育大环境，我们必须正视与因应。
这标准与课程有何不同？
共同核心标准定义学生每个年级必须学习的范畴，而课程是详细的规划方案与安排，让教师用来帮助学生达到学习目标。老师最了解在课堂上什么有用。所以标准只指明学生该学什么，但不操控与指挥老师应该如何教学。老师、学校与学区应该共同来决定最好的办法，帮助学生学习并迈向成功。
课程实施的标准与课程内容标准
共同核心数学标准将数学课程实施的标准(Mathematical Practice Standards)涵盖八种元素：
（一）理解问题，并坚持去找出解答(Make sense of problems and persevere in solving them.)、
（二）能够抽象化与量化的推理(Reason abstractly and quantitatively.)、
（三）建构论诉，并能质疑他人的道理(Constructible arguments and critique the reasoning of others.)、
（四）使用数学模型(Model with mathematics.)、
（五）策略地使用适当的工具(Use appropriate tools strategically.)、
（六）注意精确化(Attend to precision.)、
（七）寻求和利用结构(Look for and make use of structure.)、
（八）反覆推理中寻求陈述规律(Look for and express regularity in repeated reasoning.)。
这些实施标准是教师须要在课堂教学中引用的，当然根据教学内容并非所有元素都能一次概括。至于课程内容标准(Mathematical Content Standards)则以年级来细分或由课程主题来安排，两者是互相对应的。由于牵涉极广在此就不列出。請參閱【2】。
评鉴
目前有由各州分别领导的财团法人：升学和就业准备评鉴伙伴联盟(Partnership for Assessment of Readiness for College and Careers, PARCC)和智能平衡评鉴联盟(Smarter Balanced Assessment Consortium, SBAC)持续在开发评鉴系统期望能提供有意义的回馈来确保学生的学习进展取得升学或就业与生活应有的技能。2014-2015学年度这些评鉴将陆续上场。而且共同核心也有针对特殊学生撰写的课程标准，PARCC 和SBAC都有对新来学习英语学生的翻译考试指引和语汇表等，或盲人文字、文本语音转换等工具。国家中心暨州联盟(National Center and State Collaborative) 和动态学习导图(Dynamic Learning Maps) 两个单位也在发展对智障学生的替代评鉴。
目前根据PARCC、 SBAC两个联盟网站资料，约有33个州将在2014-15年采用共同评量，其他的州则另采行其他测验。不过由于许多州议会有不同原因考量，包括: 测验的时间长度、测验花费庞大、民意反应等，截至今年6月约有20个州还在「智慧平衡评鉴联盟」(SBAC），13个州(含华盛顿特区)在「升学与就业准备评鉴伙伴联盟」。
还有州长协会和各州教育长官评议会有无可能继续创作共同教材与课程？答案是否定的。共同核心标准不是教学纲要，不会要求任何特定课纲。教师可以一如既往自行发展教案，选择教材。接受共同核心标准的各州也可选择一起开发教材与课程，或各州在落实核心标准时教材的出版商或专业教育人士也会根据标准发展新的教学资源。
数学标准中重要的转变
如前所说这些标准是用来让学生做好升学或就业的准备，从而提升美国在国际上的竞争力。重要的转变【3】為：
一、加大专注力度于较少的主题(Greater focus on fewer topics)。
去除过去为人诟病，凡事都要涵盖一些但「宽一哩、深一寸」的课纲。新标准要求数学老师窄化范围，但深化教学主题内容，也就是说专注于各年级的主要工作。
• 幼儿园─2年级：对于加减法的概念、技巧和解题；
• 3年级─5年级：整数与分数的乘法除法概念技巧和解题；
• 6年级：比率和比例关系和早期的代数列式与方程式；
• 7年级：比率和比例关系和有理数算术；
• 8年级：线性代数和线性函数；
这种专注会帮助学生建立牢固的基础，包括有扎实的理解的概念，高度的程序技巧与流畅度，并在课堂内外应用他们的知识来解决数学问题的能力。
二、连贯性：在各年级间连结主题与思维(Coherence: Linking topics and thinking across grades)
数学不是一张列着主题、技巧与记忆符号，而每个主题间不相关的列表。它是连贯性的知识体由相互联结的概念所组成。因此，数学标准的设计是由年级一级一级的连贯而累进的。年级间的学习设计是很仔细认真的跨接，使学生在往年的基础上能建立新的认识。例如，4年级学生必须“应用并扩展以前认识的乘法来对分数与整数的相乘”。当延伸到小学5年级时，学生更应加强这一技能，“应用并扩展对乘法的理解而处理分数与整数或分数之相乘”。每一个阶段标准不是一个崭新的事件，而是过去学习的延伸。
三、严谨：追求概念的理解，程序上的技巧和流畅性，以及在应用时使用概念与程序都有相当的力度(Rigor: Pursue conceptual understanding, procedural skills and fluency, and application with equal intensity)
严谨性是指对数学的概念有深度、正确的使用，而不是加大数学难度或在低年级过早导入不合适的主题。为了帮助学生达到标准，教育工作者在每个年级的主要工作中必须以同样的力道追求严密性的三个面向：概念理解，程序技巧和流畅性，以及应用。
1) 概念理解(Conceptual understanding)：数学标准要求对关键概念的理解，例如位值和比例。学生必须能够从多角度的观点来运用概念才能看到数学不是一堆符号或分散的程序。
2) 程序的技巧和流畅性(Procedural skills and fluency)：数学标准要求计算速度和准确性。学生必须练习核心功能，如个位数的乘法，以获得更复杂的概念和过程。流畅度必须在课堂上练习或通过辅助材料来解决，因为有些学生可能需要比别人更多的练习。
3) 应用(Application)：数学标准要求学生在需要数学知识的情况下运用数学。正确的运用数学知识全在于学生有坚实的概念理解和程序的流畅。
针对全国数学教师协会2014年发表的《行动原则》(Principles to Actions) DeAnn Huinker、 Steve Leinwand 和Daniel Brahier等人强调一个现实【4】：数学标准不会教学，是老师在授课教学。《行动原则》的目的就是要弥补数学标准与实施政策或计画间的空白。无庸置疑的有效教学是保证学生学懂数学的核心，而且需要各州、学区、学校和课室每一层面的参与。
全国数学教师协会以2000年发表的指导原则再根据研究与经验重新修订六项指导原则于今年发表。简略摘录如下以供参考。
教与学(Teaching and Learning)。一个优秀的数学课程需要有效的教学促进学生从事有意义的学习，这种学习要经过个人的经验与同侪协作等经历来促进他们的能力，来认识与了解数学概念和道理。
使用权和公平。一个优异的数学课程须要让所有学生获得高质量的数学课程，需要有效的教学和学习，高的期望值，以及所有能让学生最大限度地发挥学习潜能的支持和资源。
课程。一个优秀的数学课程要能经由连贯的学习和累进来发展重要的数学知识，同时发展数学不同领域之间的连接，还有数学与现实世界的关联。
工具和科技。一个优秀的数学课程整合运用数学工具和科技作为重要的资源，来帮助学生学习来了解数学概念、道理并且用以表达他们的数学思维。
评鉴。一个优秀的数学课程须确保评鉴是教学的一个组成部分，并提供精通数学的重要内容和施行的证据，包括各种策略和数据来源，并将反馈通知给学生，反应出教学的决策和课程的改进等。
专业精神。在一个优秀的数学课程中，教育工作者和同僚要共同为每一个学生的数学成就负责；并对个人和集体的数学教学与学习专业成长负责。
另外八个数学教学施行方法列出促进学生深度学习的必要基本元素：
建立数学目标而专注学习。有效的数学教学要订立明确的目标，学生在学习中目标要在学习进展之内，并利用目标来引导教学决策。
落实促进推理和解决问题的课题。有效的数学教学引介学生进入数学推理和解决问题的课题，并允许多项切入点及不同的解决策略。
应用并连结数学表达式。有效的数学教学引导学生在数学表示式中相关连结，并加深其数学概念和过程的理解，并成为解决问题的工具。
促进有意义的数学论述。有效的数学教学有利于学生间发表的论述，通过分析比较学生的方法与论据，建立共享的数学概念与了解。
提出有意向的问题。有效的数学教学使用有意向目的的问题来评量并推进学生对重要的数学概念与关系的推理和了解。
从概念的理解建立程序的流畅度。有效的数学教学让学生从对概念理解的基础之上构建程序的流畅度，因此学生经过一段时间后，能熟练灵活地使用程序来解决数学问题。
支持学习数学时多产的脑力考验学习(productive struggle)。有效的数学教学一贯提供并支持给学生(个人或团体)有机会在数学概念和关系中拼搏，从事多产式的脑力考验学习的环境。
使用学生思维的佐证。有效的数学教学采用学生思维的佐证来评估学生对数学的理解的进展情况，并不断调整教学来支持并延伸学生的学习。
专家学者的观点看法
柏克莱加大伍鸿熙教授长期关注于美国的中小学数学教育【5】，对于共同核心标准的施行他说：今日学校数学教育的问题不是接纳采用共同核心标准就能解决的，更要有政府、学界、老师、数学家一起长期的支持与努力推动、确实贯彻共同核心标准才能成功。同时他举出三样要素：数学教科书、学力评鉴、教师的训练与准备。
(一)数学教科书：在共同核心标准之前，实际上几乎有全国课纲了：那就是大家广为使用但有瑕疵的教科书，简直可以说是教科书数学(Textbook School Mathematics)，也就是问题症结之一。根据新标准发展新的教材是必要的。共同核心组织(commoncore.org) 发展一套《Eureka Math》 (我发现了数学)，而大学理事会(College Board)也出版了6至12年级的教材《Springboard Math》(跳板数学)，还有出版商也出了《展望数学》(enVisionMATH)，还有网路课程《梦幻盒子数学》(DreamBox Math)等等。
(二)学力评鉴：过去由于大家执迷于学测成绩，也让老师教学生以考试为主，反而教学内容失去了焦点。新的评鉴方面，尤其大规模的测验评量，还是要逐步发展，调整题库方向等等。根据学生家长参加学校对新课程的说明会，学生要能理解数学，不只要会算，还要懂得说明、写出来、讲出来。而考试题库是渐近式的，由于利用电脑调适测验 (Computer Adaptive Testing)电脑程式根据学生的答案的对错，可以调整题目的难易；或者给予更有挑战性的问题，或是简单的题目。学生的个别能力优势与弱点就很容易记录下来，供老师、学校参考，进而施教。
(三)教师的训练与准备：由于共同核心标准的实施，让许多数学教师陷于不安和吃力不讨好的地位。老师们担负主要的任务，但他们未必熟悉共同核心标准的课程，他们的进修与对教学的准备，也维系着共同核心标准实施的成败。
在舒尔曼的《如何迎接共同核心教育标准》【6】专访中，西部教育信托组织的拉马纳坦博士对教材、老师和学力评量三者有如下的看法：『共同核心计划的成果将取决于我们如何反思编制教学课程及其教授方式。如果我们依然用旧有的课程和教学来教新标准…… 如果我们搪塞三、四个所谓的专业培训工作坊给老师们，就跟他们说：「看，这个就是核心，跟着教吧！」 …… 如果我们只管用平板电脑来美化试卷，那么这计划也是徒然的。但如果教师能善用标准去将教学变得多样化以配合不同学生的需要、如果他们能利用科技协助教学、如果教师间能增加合作，解决问题…… 若这些都发生的话、若我们看到学生更投入学习、看到他们英语及数学水平的提升……这就是我们的量度指标。 ……至于评鉴方面，我们正讨论将电脑化测验扩展至全加州所有学生，那一共是六百万名学童！显然每个校区能实施电脑化的程度不一样，有些甚至没有基本的宽频……有了拨款 (注：2013年加州政府拨款12.5亿美元实施共同核心标准)，各学区或可花费购入大量平板电脑，但不要让它们沦为较漂亮的书本，而是用作强化教学的工具。 』
计算器的使用
据英国《每日邮报》2012年11月9日报道，英国教育部宣布一项新举措，从2014年起英国小学生考试时将禁止使用计算器，且小学课程中也要尽量避免其使用，因为英国的儿童已经对它们“太过依赖”。教育及儿童保育部长策思女士强调，学童应当在熟练笔算与心算后才使用计算器。
升学和就业准备评鉴伙伴联盟(PARCC)和智能平衡评鉴联盟(SBAC)也都发表学生考试时何时能使用计算器的政策，根据《教育周刊》(Education Week) 资料列表如下：
|
|
不可使用 |
四则运算功能 |
科学型 |
图形处理 |
| PARCC* |
3-5年级 |
6-7年级 |
8年级 |
高中 |
| SBAC* |
3-5年级 |
6年级 |
7-8年级 |
高中 |
| NEAP* |
|
4年级 |
8 and 12年级 |
|
| TIMSS |
4年级 |
8年级 |
||
* 6年级以上根据考试内容，分段可使用或不可使用。NEAP只有特定问题可使用
所以基本上从幼儿园到5年级间，学生从认识数字到学好四则运算的6年期间，数学测验中计算器是不被允许的。这样可以免去学生的依赖，有助于学生由概念了解并实务程序练习，来熟悉四则运算的基础和应用。 6年级以上可以使用，但也根据考试内容而定。有条件开放的部份，也有禁用的部份。
当然有些教育专家仍存有疑问。特殊需要的学生是否有特别规定何时可用。学校或老师需要教导学生使用计算器吗？对经常使用计算器的学生他们是否占些便宜？根据目前新学年的进展有些学生已经开始体验到新的电脑考试软体，有时较难的题目电脑会自动出现计算器的选择，学生可以点选或不用。
算盘与心算
在《正本清源》【7】张德和先生表示：“珠算和数学相融合起点在小学，那些内容结合到什么程度，什么范围，也是必然会面临的一个大问题。现在解决这个课题有了客观的条件，那就是20世纪以来珠算方法有了创新，有了发展，可以跟上数学发展的要求。古代数学范围相当于算术、几何、代数，大体相当现代数学教育的基础数学，即初等数学的范畴，是和中小学这个阶段教学内容相符合的。这个阶段的数学课程也必然能在数学和珠心算结合基础上，充分发挥珠算‘算法’作用”。
在2011-2012学年度我们走进Lazear小学做珠算教学【8】，过后由加州教育厅的标准测验结果和学校的学业成绩指数，我们很高兴看到一些正面提升的数据。我们进入数学弱势学校或班级为起点，因为他们是须要帮助的。我们希望推广珠算在算术教学的功能与学习珠心算带来的专注力与记忆力，还有培养出来的良好学习态度与习惯。在与Lazear小学合作期间我们也是边学边教，学习的是公立学校的规范，适应的是教学环境。公立学校是一个非常庞大的教学机器，学生族裔、社会背景大不相同。我们的确认真全力以赴，也真是有了难得的经验。
AIMS非营利教育基金会数学科学中心研究员福特小姐(Beverly Ford)用绳串十珠来教她的四年级学生来了解减法【9】，她强调：1)可见的数量；2)强化位值的认识；3 )简单的操作算具。她了解运用了珠算简易直观和合组（grouping）与分解（decomposition）的特性。
再提一例，马里兰州霍华德县的公立学校系统也鼓吹对心算的教学与使用【10】。根据研究约有75%以上成年人在日常生活中使用心算，但在课堂中因为笔算的要求许多学生连简单加减也得动笔才行。如果学生能有心算的经验必会了解很多时候计算是不难的而且学生会用他们了解的方式来做也会更加利用数字关系。还建议学生每天能做5至10分钟的练习；先了解方法而不在于答案的正确与否；鼓励学生间的讨论与交换不同的方法；深入了解位值及数字的各种连结与关系。
珠心算教学也是一样，平时练习并不见得要长。根据学生个别情况大约每天有15-30分钟的心算与珠算练习。一下太快太多的练习可能会让学生不能适应而有抗拒的心理。再经由分析学生作业之错误，可发觉学生犯错的习惯与毛病，得以提早或适时纠正。
全国数学教师协会对于心算之必要也从运算与程序流畅度发表看法【11】：小学的笔算的计算程序到初中代数运算都是学校数学教学的焦点。而同样重要的是要能自在的使用估算和心算能力来胜任处理。当学生培养数感时，他们也获得估算和快速熟练进行心算的能力。学生应熟习的使用心算的快捷方式，利用心算来做基本运算，并对于涉及尺寸，距离和大小的情况下做合理的估计。
根据全国数学教师协会2014年7月针对数学程序的流畅度发表看法【12】，
言明程序的流畅度是数学能力的一个关键部分。程序的流畅度是准确、有效和灵活的应用程序的能力；能转移程序用于不同的问题和情况；或由其他程序来建立或修改程序；并了解何时某一个策略或方法比其他的更适合。
程序的流畅度不仅是劳记事实或程序，而且也不仅于理解并能够对于一个设定的情况使用对应的一个程序。程序的流畅度建立在对概念的理解、策略的推理、和解决问题的基础之上。因此，开发学生对程序的概念理解应该优先并和程序教学吻合。虽然概念上的知识是不可或缺的基础，程序性的知识也是独立重要的。所有的学生都需要对各种程序有深刻而灵活的了解，并有能力判断那些程序或策略适用于特定情况。在计算中，学生可由对程序的流畅来分析自己作法或别人的计算方法：如算术四则运算的笔算和心算方法，甚至于使用计算器、电脑、或其他算具。
有效的教学方法提供经验，帮助学生将基本概念与处理程序连接，并给学生有机会操作和练习解题策略和调整论证其过程。练习作业应该精简、吸引人并有目的和分配性的。太早太多的练习可能失去效用或导致数学焦虑。老师如果分析学生的作业程序内容，往往可以发现学生的不明和误解，因此有助于教师规划下一步的教学。
报载美国大学入学「学术性向测验」（SAT）2016年有重大变革【13】，专家分析，新制考试是为因应共同核心课程（Common Core State Standards）变革。 数学测验将缩小范围，同时取消现行的「答错倒扣」作法，并不准使用计算机。 SAT新制与即将实施的共同核心课程是相辅相成，由于共同核心课程强调批判性思考，新制将测验重点放在分析和理解能力，所以数学更强调解题过程。考题也将偏重在数据分析和解决实际问题。虽然如此，基本的运算与熟练数字运用的能力与数感，更能在分析解题中显现其优势。学好珠心算的学生在不能带计算机的SAT数学测验，会占有利地位。
启智型珠算心算
根据《珠心算教育与少儿智力开发》【14】珠心算教育对开发儿童智力潜能的显著作用表现在九个方面：1) 记忆力提高；2) 思维能力强；3) 独创性好；4) 阅读速度快； 5) 智商提高；6) 各科学习成绩好；7)珠心算教育开发儿童智力潜能的作用，不仅对普通儿童教育效果好，对智障儿童教育效果也显著；8) 学习珠心算提升的脑力可以长期保持，发展有后劲；9) 开发智力潜能的效果普及性强。
笔者在“美国算术教育与珠心算教学活动”【15】提到〝在‘当代中国珠算’第五章二节“珠算教学法”中谈到学习珠算心算有应用型、启智型、选手型三种。武漢军事经济学院珠心算教育，學有專精，為應用型。本地却只有启智型一种。既没有可到银行、财经会计单位服务的应用型，也没有为参加比赛而勤练的选手型。〞是故教学的趋势不在于市场的取决，而在于老师的引导概念与创新领导，设定方向。现在共同核心课程标准的实施，牵动了大环境的变化。从珠心算教学上我们看向调适教学。基本上学过珠心算的学生对于计算的程序流畅度必然优于没有学过的学生。对于位值、加减法中5与10的分解组合；乘除中的定位、估商等珠心算学生对于程序的使用有更多的选择。再者从幼儿园到5年级间，新的数学测验中计算器是被禁止的。而开始学习珠心算的学生大多也落在这个年龄层。
除了继续保持中美珠心算学会优良的传承，如：珠心算师资菁英培训计划、中文学校珠心算教学、社区珠心算文化推广活动、特殊儿童之友教导珠算、参加与举办国际珠心算文化交流活动等等，我们也让更多学习成绩好、较为成熟的学生(八年级以上) 在父母同意下担任课堂小助理，这些学生就要懂得解说，所以他们也得参加有关的“课堂小助理训练”，也培养他们自主学习的好习惯。待实际帮忙小学生辅导时，他们也会产生疑点或问题，再与老师研究解决。这样教学相长也更能激发他们内在的动机，对学习有高度的兴致并选择精益求精为学习的目标。自然而然地，他们将成为珠心算师资菁英培训计划的种子，更上一层楼指日可待。
在阐述“珠算融入数学教育为中西方数学融合、实现数学教育现代化开辟了广阔的前景”篇幅中【16】，张德和先生强调：“学习珠算和珠心算要‘重在过程’，不仅仅可以全面提高计算能力，还可以开发智力，更可以在过程中使学生学会观察、归纳、分析、概括和判断能力，有利于在各种不同运算中直观形象地理解中国古代数学程序化、算法化和机械化的特色，对培养学生思维的灵活性、敏捷性、精确性、变通性以及正向与反向思维、集中与分散思维是非常有帮助的。这对中西方数学思想方法融合、促进数学教育现代化是十分重要的。”
结语
因应共同核心标准的方向，也呼应数学标准中的重要转变，前两者：加大专注力度于较少的主题和连贯性為定義與調整教學的範疇；第三者：嚴謹，则为教师主要工作中必须以同样的力道追求“严谨性”的三个面向：概念理解，程序技巧和流畅性，以及应用。就三個面向探討我們目前的不足及可以努力的方向：
就“概念理解”方面我们对于珠算教学中，对于位值、加减法中5与10的分解组合；乘除中的定位、估商等我们要更详细的指导学生了解其中的关连与变化，而不仅仅先做再说。或许一些年级较低但进度较快的学生会有短暂期间的不理解，但经程序熟练后再加说明，当能清楚明白。共同核心课程标准期望引导课堂中批判性思考、问题解决及能显示知识深度的教学；而且学生将需要具备沟通交流、说明写作、思考、分析及解决问题的能力。我们会持续关注这一区块，希望在教学、教材之概念解说上能够充分适时的与学生交流，了解学生的认知与不足，引导学生自主探讨并发觉进而明白了解。并适时提供机会让学生互相交换意见，讨论发表心得。
在“程序的技巧和流畅性”学生除已学习学校的笔算法，更要由珠算心算算法切入了解更多的算法概念和过程。要学生明了各种算法，在经由珠算心算练习及家庭作业势必能掌握计算速度和准确性。并可藉由笔算与珠算、心算过程的区别让学生讨论解说，也可让学生对于在珠心算加减法、乘法、除法容易犯错的毛病提出检讨。同侪间的竞争合作可以让教学更生动活泼。
至于在“应用”方面是目前我們在美國珠心算教学缺少的一角。古代数学名著《算法统宗》是一部应用数学书，是以珠算为主要的计算工具，列有近600个应用题的数字计算。但是近代珠算应用着重于银行本利及一般商业计算，直到因电脑化影响淡出商业用途，反而在儿童启智上开花结果。
由于因循旧习，我们在应用教学方面着力较少，而在传承与文化推广活动上努力以赴。虽然自2002年我们在旧金山湾区主办第一届世界城市杯青少年珠算、心算、数学三算竞赛时已涵盖数学项目，但因各国、地区与城市间课纲标准不一，直到2014年世界城市杯数学试题才算大致统一。这期间我们看到了上海市珠算心算协会与上海市少儿珠心算进修学校的“珠心算活动教材”、黑龙江珠协的“珠心算数学教材系列”、中国教育科学研究院与中国珠算心算协会合编的“珠心算”、中华珠算学术研究学会的“珠心算应用学”、台湾省商业会的“活用数学补充教材”，及许多探讨研究珠算心算与数学配套、整合、融合的研究和论文。黄奕光博士在谈论促进亚洲社会成为更有创造力的方法，就是划清训练学生与教育学生的界线【17】。他引用李远哲教授的观点：亚洲学生的创造力不强，是因为他们都被训练成能够在考试上获取高分的考生，而教育学生的真正目的，应是培养学生发问以及寻求新答案的能力。在机械式的计算训练或珠心算教育两者之间，我们必须做出选择。
共同核心标准的实施撼动了美国数十年来的教育模式，希望经由教学及考试题型的改变，引导老师的教学、学生的学习、一些过去的价值全面翻转。可以说共同核心标准标榜的是以学习能力导向的教育改革。数学除学习基本才能技巧外，更强调深入学习观念，理解原理和实践。最重要的目标是要在真实世界运用数学。
我们须要调整，并向引领珠心算与数学整合融合的先进们学习。参照共同核心数学标准的内容与珠算、心算算法及其应用，让学生在“学习的过程”领略到学习珠算心算的功能与提高学习效果，同时了解珠算算法和沟通说明其中的道理；保持学习的高度兴趣，以精通学习为目标。他们在学习过程中所奠定的才能与信心，专心致志的精神，將是他们的财富。
参考文献：
1. Achieve, Inc. (Nov. 2013) Closing the Expectations Gap 2013 Annual Report,
2. http://www.corestandards.org/Math/
3. Common Core State Standards Initiative, “Key Shifts in Mathematics”,
http://www.corestandards.org/other-resources/key-shifts-in-mathematics/
4. DeAnn Huinker, Steve Leinwand, and Daniel Brahier (2014), “Principles to Actions:
Effective Mathematics Teaching as the Core for Student Learning.”
Teaching Children Mathematics NCTM, Vol. 20, No. 9, 553-537
5. Hung-His Wu, Edward Frenkel (2013) Common Core Standards for Mathematics:
The Real Issues, Huff Post Science
6. Peter Schurmann (2013) 专访：如何迎接共同核心教育标准
New America Media, Question & Answer
7. 张德和(2008)，“正本清源”，《珠算长青》 中国财政经济出版社
8. 黄惠姜(2013) ，走进Lazear小学的珠算教学，
2013世界城市杯三算竞赛暨教师研讨会
9. Beverly Ford (2014), “How Can an Abacus Help Your Students Understand
Subtraction with Regrouping?”,
http://blog.aimsedu.org/2014/01/07/how-can-an-abacus-help-your-students-understand-subtraction-with-regrouping-partone/
10. Howard County Public School System, Maryland, USA
https://grade2commoncoremath.wikispaces.hcpss.org/Mental+Math
11. NCTM (June 2009) Guiding Principles for Mathematics Curriculum and Assessment, 3-4
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